摘　要：Erdos, Graham, Spencer 提出研究满足下列性质的最小实数 ：对任意正整数序列 , 若 且 ， 则这一和式一定可以分成 部分，使得每一部分都 。 目前国际上研究的最佳结果为 。在本文中,我们证明 。 74373

毕业论文关键词：Erdos- Graham- Spencer猜想, 倒数和,分划

Abstract: Erdos, Graham, Spencer asked the following question on the least real number   such that: for any positive integers   with   and     this sum can be decomposed into n parts so that all partial sums are  。 The best result on the problem in the world at present was  。 The primary result of this thesis was  。

Keywords: Erdos- Graham- Spencer conjecture,  reciprocal sum, partition。

目　　录

1　引言4

2　文献综述4

2。1　EGS问题研究历程5

3　一些引理6

4　算法和主要结果8

4。1　算法8

4。2 待检验序列集分解9

4。3 主要结果9

4。3。1  的计算9

参考文献12

1　引言

    1980年， 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题： ([2], p。 41) 对任意正整数序列 , 若 ， 是否一定可以将这一序列分成 部分，使得每一部分倒数和都 ？ Sandor C很快给出了否定回答。 但这一问题开始了组合数论中一类新问题的研究。 此类问题中一个关键猜想是由Erdos, Graham, Spencer提出的,因此我们称之为Erdos-Graham-Spencer问题,简称为EGS问题。

定义1。1 在本文中,我们称满足下列性质的最小实数 为EGS常数:对任意正整数序列 ,  若 且 ， 则一定可以将这一序列分成 部分，使得每一部分倒数和都 。 

    Sandor C证明EGS常数对任意 都存在,并给出了上下界[3]。

定理1。1  ,  。

这一上界是比较大的。 目前国际上的最佳结果为(参见[1][4][5]):

定理1。2  ,   。

    在本文中,我们证明:

定理1。3  。

本文是这样组织的: 在第2节中我们对研究背景和相关文献做了一个综述,在第3节中给出了需要用的的一些引理,在第4节中给出了主要结果。

    在本文中,为方便起见, 我们提到的所有序列均为有限个元素的正整数序列, 且假设 。文献综述

2  文献综述

2。1　EGS问题研究历程

1980年， 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题： ([2], p。 41) 对任意正整数序列 , 若 ， 是否一定可以将这一序列分成 部分，使得每一部分倒数和都 ？ 

Sandor C对 的情形给出了反例, 从而对这一问题作出了否定回答。 

例2。1。1 120除1,120以外的所有正因子:  2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60。 以上整数的倒数和为 , 但对这一序列的任一分划,都至少有一部分倒数和>1。

对一般的 , Sandor C证明反例总是存在的[3] 。

定理2。1 对任意的 , 都存在正整数序列 满足 ， 但将这一序列分成 部分,都至少有一部分倒数和>1。

    这一定理同时也说明EGS常数 ,  。在[3]中,  Sandor C也证明了EGS常数 对  总存在,并给出了上界。事实上,他对实数序列证明了下述定理。

定理2。2 令  , 对任意的全体大于1的正实数序列 , 如其满足 ， 则一定可将这一序列分成 部分,使每一部分倒数和都 。

当序列限制在正整数序列时,  Sandor C证明了更强的上界。

定理2。3 令  , 对任意的实数序列 ,满足 ， 则一定可将这一序列分成 部分,使每一部分倒数和都 。