2。1  罗尔（Rolle）定理

设函数 在 上连续且在此闭区间的内点处皆可微, 又设 , 那么在区间 中存在点 使得 。

Rolle定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线。

2。2  拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数 在闭区间 连续且在开区间 上可微, 那么成立公式

 或 ,

其中 是此闭区间的某个内点。 Lagrange中值定理是Cauchy中值定理当 时的特殊情形。

Lagrange中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线 上至少存在一点P , 该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB。

2。3  柯西（Cauchy）中值定理

设函数 和 满在闭区间 上连续且在其内可微, 设对于一切 ,  , 那么在区间 内存在 , 使得

 。    ①

Cauchy中值定理的几何意义：类似前面两个定理, 将 , 这两个函数看作以 为参数的参数方程 在 平面上表示一段曲线。 由于①式右边的 表示连接该曲线两端的弦AB的斜率, 而①式左边的 则表示该曲线上与 相对应的一点 处的切线与弦AB互相平行。

    由以上内容可知, Rolle定理是Lagrange中值定理的特例, Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广。

3  经典题型中的微分中值定理来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

微分中值定理是微分学的理论基础, 微分学的很多重要应用都建立在这个基础上。 微分中值定理常用来解决下列问题：求近似值, 讨论函数零点, 证明可导函数的某些等式与不等式, 求极限等。

3。1 求近似值

微分中值定理是计算近似值的重要工具之一, 我们主要根据Lagrange中值定理来求解近似值。 首先根据所求近似值构造一个适当的辅助函数 , 再运用Lagrange中值定理：若 在 上连续,在 上可导,那么存在 ,使得 , 即 , , 从而得出所求近似值。 

例1  求 的近似值。

解：令 , ,由于 在 上满足Lagrange中值定理的条件,

所以 , , 即 , ,

所以令 , 即 。