摘要：本文主要研究半正定矩阵在多元函数极值中的应用。 我们首先研究了导数以及正定矩阵在多元函数中的应用，然后在论述它们之间联系的同时进行对比研究。 接着研究了判断极值问题的必要条件，充分条件以及判断正定矩阵的充要条件，得到了半正定矩阵决定多元函数的极小值，半负定矩阵决定多元函数的极大值，不定矩阵不决定极值。74781

毕业论文关键词：二次型，半正定矩阵，多元函数极值

Abstract：This thesis mainly researches the application of positive semi-definite matrix in the determining of extremum of multivariate functions。 We first study the  application of derivative and positive definite matrix in multivariate functions, then study the relationship between them, and at the same time, investigate the  comparation between them。 Afterwards, we establish the necessary conditions and necessary conditions for judgment of extreme problems, and give the sufficient and necessary conditions for judgment of positive definite matrix。 The results show that positive semi-definite matrix can determine the minimum value of multivariate function, negative semi-definite matrix can determine the maximum value of multivariate function, and indefinite matrix can not determine extreme points。

Keywords：quadratic, positive semi-definite matrix, multi-function extreme

目录

1前言 6

2相关知识 6

3相关例题 13

结论 14

参 考 文 献 15

致谢 16

1 前言

    在《数学分析》这门课程中，多元函数的极值问题是一个非常重要而且涉及到的知识点相对较多的学习点。 在解决多元函数的极值问题的过程中，通常会选择利用导数、极值的定义以及矩阵的正负性进行解决，这类方法运用起来非常的方便。 事实上，半正定矩阵的相关性质也可以应用到多元函数极值问题的研究中。 但是这一部分知识通常在学习中容易被忽略。 在运用矩阵解决多元函数极值问题时，一般需要结合二次型进行解决。 本文将主要介绍半正定矩阵在多元函数中的应用，并借助二次型来解决多元函数极值问题。论文网

2 相关知识

    定义符号： 表示函数 对自变量 的求导。

2。1  极值的充分条件[1] 设 的稳定点，则有：

（1）当 时， 在 取得极小值；

（2）当 时， 在 取得极大值；

（3）当 时， 在 不取得极值；

（4）当 时，不能肯定 在点 是否取得极值。

证明：熟知正定矩阵对应的顺序主子式是全大于0，负定矩阵对应的顺序主子式一阶是小于0的，二阶是大于0的。故函数对应的黑赛矩阵是正定的所需条件为

 。

函数对应的海塞矩阵是负定的所需条件为

 。

函数对应的海塞矩阵是不定的所需条件为

 。

函数对应的海塞矩阵是不确定的所需条件为

 。

证毕。

2。2  极值的必要条件[1] 若点 是函数 的极值点的必要条件是

 。

证明：若点 是函数 的极值点，则点 是函数 的驻点。

    那么就有函数 在点 处对于每一个自变量求导均为0,从而得到

 。

证毕。

2。3  极值的充分条件[1]  设函数 在任意的点 有一阶，二阶的偏导数，且 ，则