摘要：通过对积分区域关于坐标轴、坐标平面和坐标原点对称的讨论,结合被积函数奇偶性的特点,总结归纳出化简各类积分的方法,并以例题的形式展现结论的科学性正确性和有效性。

毕业论文关键词：对称区域；奇偶性；积分74786

Abstract： Using symmetry of integral domain to coordinate surface , coordinate axis , coordinate origin and parity of integrand , we can construct some useful formula to compute the integral 。 At the same time we can illustrate it very accurate and effective． 

Key words：symmetrical domain；parity； integrand

目   录

1  积分区域的对称性4

2  函数奇偶性4

2。1  一元函数的奇偶性·4

2。2  多元函数的奇偶性·4

3  用函数奇偶性和积分区域的对称性解决积分计算问题5

3。1  计算定积分·5

3。2  二重积分计算··6

3。3  三重积分计算··7

3。4  曲线积分和曲面积分计算10

3。4。1。  第一类曲线曲面积分的计算·11

3。4。2。  第二类曲线曲面积分的计算·11

结论··14

参考文献·15

积分学是《数学分析》这门课程的重点内容,正确且高效的计算积分是学好积分的基础。在学习过程中,我们会常常碰到积分区域是对称区域和被积函数是奇（偶）函数的问题,但教材中并没有明确提出有关积分区域对称性与函数奇偶性的相关结论,而是通过习题的方式出现以示提醒,使得我们对这类题型不能充分正确利用对称性解题。本文从各类积分出发,总结简化各类积分的常见结论并给出具体例子。论文网

1  积分区域的对称性

积分区域关于积分类型的不同而不同,可以是区间、平面区域或者是空间区域,也可以是弧段或者曲面片。我们将积分区域统一为空间区域,给出积分区域对称性的一般定义。

定义1  设Ω⊆R^3为任意的空间区域：

⑴若(x,y,z)∈Ω,满足(-x,y,z)∈Ω,则称Ω关于yoz平面对称。

⑵若(x,y,z)∈Ω,满足(-x,-y,z)∈Ω,则称Ω关于z轴对称。

⑶若(x,y,z)∈Ω,满足(-x,-y,-z)∈Ω,则称Ω关于原点对称。

类似地,可以给出Ω关于xoz面、xoy面、x轴、y轴对称的定义。

2  函数奇偶性

奇偶性是定义在对称区域上的函数的一个重要性质,通过研究函数奇偶性,可以了解函数图象是否具有对称性,进而解决某些问题的求解。

2。1  一元函数的奇偶性

一元函数的奇偶性清晰地表现出奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称的特性。

定义2  设函数f(x)的定义域D关于原点对称,且对于任意的x满足条件f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),则称f(x)是奇（偶）函数。

2。2  多元函数的奇偶性

多元函数的奇偶性表现为关于任意多个变元的奇偶性^[1] 。这里我们主要给出二元函数和三元函数的奇偶性定义。其他多元函数有着相似的定义。

定义3  设函数f(x,y)的定义域D关于x轴对称,且满足条件f(x,-y)=-f(x,y)文献综述

(或f(x,-y)=f(x,y)),则称f(x,y)是D上关于y的一元偏奇（偶）函数。

类似地,可以给出定义域关于y轴对称的二元函数关于x的一元偏奇（偶）函数,

定义4  设函数f(x,y)的定义域D关于坐标原点对称,且满足f(-x,-y)=-f(x,y)

(或f(-x,-y)=f(x,y)),则称f(x,y)是Ω上关于x,y的二元全奇（偶）函数。