定义 5  设函数f(x,y,z)的定义域Ω关于yoz面对称,且满足f(-x,y,z)=-f(x,y,z)

(或f(-x,y,z)=f(x,y,z)),则称f(x,y,z)是Ω上关于x的一元偏奇（偶）函数。

定义域关于xoy对称的三元函数关于z的一元偏奇（偶）函数,以及定义域关于xoz对称的三元函数关于y的一元偏奇（偶）函数。

定义6  设函数f(x,y,z)的定义域Ω关于z轴对称,且满足f(-x,-y,z)=-f(x,y,z)

(或f(-x,-y,z)=f(x,y,z)),则称f(x,y,z)是Ω上关于x,y的二元偏奇（偶）函数。

类似地,可以给出定义域关于x轴对称的三元函数关于y,z的二元偏奇（偶）函数,以及定义域关于y轴对称的三元函数关于x,z的二元偏奇（偶）函数。

定义7  设函数f(x,y,z)的定义域Ω关于坐标原点对称,且满足条件f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)(或f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)),则称f(x,y,z)是Ω上关于x,y,z的三元全奇（偶）函数。

3  用函数奇偶性和积分区域的对称性解决积分计算问题

在计算积分时充分运用积分区域的对称性以及被奇函数的奇偶性可以大大减少积分计算的计算量,提高计算效率。下面从各类积分出发,总结简化各类积分的常见结论并给出具体例子。

3。1  定积分计算

引理1  设f(x)在关于原点的对称区间[-a,a]上连续,则有：

∫_(-a)^a▒f(x)  □(24&dx)={█(2∫_0^a▒〖f(x) □(24&dx,f(x)为偶函数)〗@           0,           f(x)为奇函数)┤     

        例1    求定积分∫_(-"π" /2)^(π/2)▒〖√(cos⁡〖x-(cos⁡x )^3 〗 ) dx〗

解  积分区间关于原点对称,且对于被积函数f(x)=√(cos⁡〖x-(cos⁡x )^3 〗 )为偶函数,由引理1便可得

∫_("-"  "π" /"2" )^("π" /"2" )▒〖√(cos⁡x⁡〖"-" (cos⁡x )^"3"  〗 ) □(24&dx)"=2" ∫_0^("π" /"2" )▒〖√(cos⁡〖x-(cos⁡x )^3 〗 ) □(24&dx)〗 "=2" ∫_"0" ^("π" /"2" )▒sin⁡〖x√(cos⁡x )〗 〗 □(24&dx)

=-2∫_0^(π/2)▒√(cos⁡x ) d(sin⁡x ) 

                                                                =4/3

3。2  二重积分计算

引理2  设二元函数f(x,y)在平面区域D连续, 且D关于x轴对称, 其中D_1是D落在x轴一侧的区域,则有：

              ∬_D▒〖f(x,y) □(24&dx)□(24&dy)〗={█(2∬_(D_1)▒〖f(x,y) □(24&dx)□(24&dy,       f(x,y)关于y为偶函数)〗@                 0 ,                     f(x,y)关于y为奇函数 )┤   

类似地,积分区域D关于Y轴或原点对称时,二元函数关于x或x,y有着相似的奇偶性。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

       例2    计算二重积分I=∬_D▒〖4x^2 〗 □(24&ydx)□(24&dy,其中D是由y =x,y =-x及)

y=6-x^2 所围成的在X轴上方的区域。

解  积分区域关于y轴对称,被积函数f(x,y)=4x^2 y满足f(-x,y)=f(x,y),所以被积函数是关于x的偶函数,由引理2可知：

I=2∬_(D_1)▒〖4x^2 □(24&ydx)□(24&dy)=〗 2∫_0^2▒〖□(24&dx)∫_x^(6-x^2)▒〖4x^2 y□(24&dy)=4352/35〗〗

         例3     求二重积分I=∬_D▒4x □(24&ydx)□(24&dy)其中D是由y =x,y =-x及