摘要在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。不等式因其证明的困难性和方法的多样性，成为了当今中学竞赛数学中的热点和难点之一。经研究发现，均值不等式在中学竞赛数学中常常出现，本文以中学数学竞赛为切入口，浅谈不等式在数学竞赛中的研究及应用，并以此为基础设计了适合学优生学习的竞赛数学中的均值不等式教学专题教案。74874

There are a lot of different amounts in the nature relation, inequality, which is the most basic mathematical relationship, inequality in mathematics study and mathematics application plays an important role。 Inequality because of their persity, to prove the difficulty and method of became one of the hotspots and difficulties in today's high school competition mathematics。 The study found that the mean inequality often appears in the high school competition mathematics, this article is related with middle school math competition, introduction to inequality research and application in the math contest, and on this basis, designed for eugenics learning in mathematics competition mean inequality teaching thematic teaching plans。

毕业论文关键词：均值不等式证明与应用; 数学竞赛；教学设计

Key words: average inequality proof and application; Math competition; The teaching design。

目录

摘要 2

目录 3

一、课题研究的背景 3

二、均值不等式的基本结论 4

三、均值不等式的应用 5

1、均值不等式在最值问题中的应用 5

2、均值不等式在比较大小问题中的应用 10

3、均值不等式在不等式证明中的应用 13

4、均值不等式在几何中的应用 14

5、均值不等式在实际生活中的应用 16

四、均值不等式教学实践 20

五、总结 28

参考文献 29

致谢 30

一、课题研究的背景

    不等式是高中数学中不可缺少的一个内容，它与函数、数列、几何、导数等问题都有联系。不等式主要是用来比较数量之间的大小关系，而均值不等式是比较两个平均数的大小关系。均值不等式是新课程改革后高中数学教材中必修５的第三章第３节的内容，而且也被列入数学教材选修４－５中。它出现在柯西不等式、排序不等式之前，是为了更好的学习这几个重要的不等式，为学习其它的不等式提供理论基础。中学数学对不等式的重视促使中学竞赛数学对不等式也非常重视，从历年的竞赛真题中可以看出，均值不等式是竞赛的重点和热点。通过学习均值不等式可以培养学生的逻辑思维能力，自主探究能力。通过对均值不等式的研究，可以为中学竞赛数学教学提供理论基础。论文网

二、均值不等式的基本结论

定理   设 是n个正数，则H(n) ≤G(n) ≤A(n) ≤Q(n)称为均值不等式。 其中  ，  ,   和  分别为调和平均、几何平均、算数平均数和平方平均数，即

证明  （用数学归纳法证明）显然有

设A≥0，B≥0，则 ，当且仅当B=0时取等号。