在中学数学中，最值问题研究有它独特的价值。一方面，虽然中学数学中的最值问题的严格的理论指导需要借助高等数学知识，但由于它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛、训练思维能力的效果显著，以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，在高考中占有相当重要的地位。最值问题虽然是老问题，但一直活跃在高考题中，尤其是导数和线性规划的引入，更为最值问题增添了活力。另一方面，最值问题的求解对于高中生来说是比较困难的一件事，通常都是高考题中的压轴题。大部分学生对最值问题的求解都是望而生畏的。

对于中学数学中最值的求解，国内已经有了一定的探讨。韦玉球[2]、刘立明[2]、尚晓阳[3]、黄文韶[4]总结归纳了最值问题的常用求解方法。文献[2][4]中，主要包括利用配方法、判别式法、函数单调性、均值不等式、换元法、转化为二次函数、数形结合、构造几何模型、构造两点间距离、巧用截距等来求解最值问题。文献[3]中，作者将最值问题分为函数的最值、字母的取值范围、不等式恒成立问题、实际应用中的最优问题等进行了阐述；黄静[1]、刘建中[6]、夏祖政[7]均通过举例较为系统地讨论了“均值不等式”在求解最值时的应用；贾周德[5]通过几个比较典型的例题阐述了用导数法求函数最值；杨红霞[9]阐述了用直线的斜率公式求函数的最值，并融入了数形结合这一数学思想。

根据数学工作者们过去研究数学的最值问题方面积累下来的技巧和方法，我结合了数学分析、高等代数、复变函数、解析几何和立体几何以及中学数学教学大纲的有关理论和方法，归纳总结出解决中学数学中最值问题的一般方法。

研究中，首先给出了解决最值问题的方法，而后探讨该方法在具体问题中的应用，或几种方法一起应用，应用之后再针对题目对所用的方法进行评述，以提高研究的准确率。在研究中，相应例题的选取要有代表性，若能一题多解则将各种解法都罗列出来。

第2章 求最值的代数方法

2。1 配方法

配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。文献综述

下面我将用两个例题来进行分析说明。

例1：求函数 的最值。

分析：由函数y=5sinx+cos2x可以考虑到二倍角公式，于是会出来某个形式的平方，这时就要想到将 化解成 ，这样就可以将y看成是一个关于sinx的二次函数，sinx的取值在-1到1之间，此时再利用配方法求解函数y的最值。

解：由题意

因为 ，所以f(x)在 上单调递增，则

当 ，即 时， 

当 ，即 时， 

例2：已知函数 ，求函数y的最小值。

分析：函数y中既有 ，又有 ，且 ，于是可以将函数表达式展开后按 进行配方，转化为关于变量 的二次函数。

解： 

令 ，则 。

又对任意 ， ，于是函数y的定义域为 。则

当 且 时，函数y的最小值在 处取得，即 ，

当 >2时，函数y的最小值在 处取得，即 。

评注：用配方法求最值问题的关键是将所求函数转化为二次函数，并结合二次函数的图象来求。在解题过程中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围，这在上述两个例题中均有体现。配方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*