（4）若 ，则   (当且仅当 时取“=”）

若 ，则   (当且仅当 时取“=”）

若 ，则 （当且仅当 时取“=”）

注：在解题过程中应当巧妙使用“和定积最大，积定和最小”定理

当a,b两个正数的和为定值时，可以求得它们的积的最大值；若a,b两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值。

二、三角形不等式和一个四面体猜想

2。1关于锐角三角形中线的几个不等式[4]

(1)在锐角三角形中，有 ，等号当且仅当锐角为正三角形时成立。

(2)在锐角三角形中，有 ，等号当且仅当三角形为正三角形时成立。

(3)在锐角三角形中，有 ，当且仅当锐角三角形为正三角形时成立。

(4) 在锐角三角形中有 ，等号当且仅当锐角三角形为正三角形时成立。

2。2 设计三角形内任一点的不等式

(1)设P为三角形ABC内任一点，记 , , ,则有 ，当且仅当 时，上式取等号。

(2)设P为三角形ABC内任一点， ，的内角平分线分别为 ，则有 ，当且仅当P为 的外心时，取等号。                 

2。3关于四面体的一个猜想推广[5]

    设P为四面体 内任一点，则等号成立当且仅当 为 等面四面体且P为其外心。

三、高中数学中的不等式

    在中国义务教育阶段学习的不等式得内容主要有：不等式及其解集；一元一次不等式；一元一次不等式组；不等式的性质和实际问题。在高中数学中将不等式内容大致分为两个部分。第一部分主要学习的内容有：不等式关系及不等式组；一元二次不等式及解法；二元一次不等式（组）和线性规化问题，以及基本不等式 ，被安排在必修5的第三单元[5]。第二部分的学习安排在选修4-5《不等式选讲》。学习的内容为不等式的基本性质；含绝对值的不等式；不等式的证明；运用不等式求最大（小）值；通过数学归纳法证明不等式；几个著名的不等式等[6]。结合中学学生的掌握情况和学习能力，列举下列使用较为重要的不等式。文献综述

3。1均值不等式

(1)均值不等式的表达式： 

(2)均值不等式在使用中需要满足的条件：一正，二定，三相等

(4)均值定理广泛的应用于证明不等式、比较不等式的大小、求变量的取值范围、求最值和解决实际问题方面等方面。

3。2各平均数不等式关系： 

 即平方平均数大于等于算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，也可表达为

  （当a=b时取等号，且a,b为正数）

3。3 柯西不等式

 当且仅当 时取“=”。

3。4排序不等式

    设两列数组 ， 则

 是1,2,3。。。。。,n的任一排列，当且仅当 或者 时取“=”。

第二节 不等式的理论证明方法

    不等式的广泛应用也取决于不等式的证明方法多样化，常见的初级不等式的常见解法有在比较法（作差法，作商法），放缩法，反证法，综合法，判别式法，数学归纳法，数轴穿根法和零点分段法等。除此之外在高中数学不等式的证明中也经常利用一些著名不等式，如均值不等式，柯西不等式。而在不等式的解题过程中更多的是要求学生做到各种解法的融会贯通。在本文中重点讨论的是数轴穿根法和零点分段法。

一、数轴穿根法-数轴标根法

(1)数轴穿根法的基本步骤[7]

第一步：在不等式最高次项系数为正的前提下，利用不等式的基本性质对不等式进行移项，使得不等式右边项为0