摘 要：微分算子法在求解微分方程和多元微分中有非常简便有效的作用，论文主要介绍的是用微分算子及其逆微分算子的相关性质来求解非线性项为指数函数，三角函数，幂函数及其混合函数的微分方程的特解，还介绍了微分算子法在偏微分方程以及多元微分中的相关应用，并且用具体的例题来表现微分算子法的有效性和简便性。77404

毕业论文关键词：微分算子，常微分方程，偏微分方程，特解，多元微分 

Abstract：The differential operator method is very simple and effective for solving differential equations。 In this paper, the properties of the differential operator and its inverse differential operator are introduced to solve the nonlinear item as exponential function, trigonometric function, power function and the differential equation of the mixed function。 The differential operator method in partial differential equations and the related application of multivariate differential, effective and simple and specific examples are also introduced。

Keywords：differential operator, ordinary differential equation, partial differential equation,

particular solution, multiple differential

目  录

1  引言 4

1。1  微分算子的性质 4

1。2  逆微分算子的性质 4

2   微分算子法在微分方程中的应用 5

2。1  微分算子法在常微分方程中的应用 5

2。1。1  是指数函数 6

2。1。2  是三角函数 6

2。1。3  是幂函数 7

2。1。4  是混合型 8

2。2微分算子法在偏微分方程中的应用 9

3   微分算子法在多元微分中的应用 11

结  论 15

参 考 文 献 16

致  谢 17

1  引言

算子就是表示有确定意义的一组运算。算子解法就是用算子来解决问题的方法。本文主要讨论的是微分算子法及其函数算子，在求解微分方程、多元微分等问题中的应用。

引入微分算子： 

定义1  ，其中,叫做阶微分算子，则表示对进行求导运算，表示对求导次；表示积分；表示对积分次，不用带常数项。 

因此，阶微分方程的一般形式可以表示为，文献综述

即其中， ，称为算子多项式，简称微分算子，那么方程的特解为．其中,称为逆算子。

1。1  微分算子的性质

引理1[5]  设算子多项式如上定义,,为可微函数,则有

(1)；(2)设，则；(3)设，则．引理2[5]  设算子多项式如上定义,,为二阶可导函数,则有

1。2  逆微分算子的性质

引理3[5]  设算子多项式如上定义,,为可微函数,则

(1)；(2)；(3)设，则

．利用上述性质，可以得到以下定理：

定理1[5]  设算子多项式如上定义,,为二阶可导函数,则

(1)；(2)若，则；

(3)若，不妨设为的重根，，则

，其中，表示对求阶导数．

定理2[5]  设算子多项式如上定义, ,则

(1)若，则，；(2)若，不妨设为的重根，则

，；(3)，其中，，为商式，按的升幂排列，且的最高次幂为。