摘要：本文归纳了有关对称矩阵的一些性质和定理。着重介绍了对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性，并对其中的部分性质进行了证明。最后，通过举例探索了对称矩阵的一些简单应用。

毕业论文关键词：对称矩阵，对角化，正定性，应用77426

Abstract：We discuss some properties and theorems of symmetric matrices。 We also introduce the symmetric matrix diagonalization, positive definite of symmetric matrix, and some properties of them are proved。 Finally, some simple applications of symmetric matrices are proved by examples。

Key words: symmetrical matrix, diagonalization, positive , application。

目 录

1。引言 4

2。对称矩阵 4

2。1对称矩阵的定义 4

2。2对称矩阵的基本性质及简单证明 5 

3 对称矩阵对角化的应用 6

3。1对称矩阵对角化的相关理论证明 7

3。2对称矩阵对角化的具体方法和应用举例 8

4对称矩阵的正定性的应用 10

4。1正定对称矩阵的定义 10

4。2对称矩阵正定性的判别 11

结论 16

参考文献 17

1 引言 

  矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。论文网

2 对称矩阵

    在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。

2。1 对称矩阵的定义

定义1[[[1]北京大学数学系。高等代数[M]。 北京: 高等教育出版社,2003。]] 设矩阵，记为矩阵的转置。若矩阵满足条件，则称为对称矩阵。由定义知：

（1）对称矩阵必定是方阵。

（2）位于主对角线对称位置上的元素一定对应相等。即，对任意、都成立。对称矩阵一定形如

定义2 形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵。

定义3 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵。

定义4 若矩阵满足，则称为反对称矩阵。由定义知：

（1）反对称矩阵一定是方阵。

（2）反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零。反对称矩阵一定形如。

下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。

2。2 对称矩阵的基本性质及简单证明文献综述

性质1[[[2]戴立辉。线性代数[M]。 上海: 同济大学出版社,2007。]] 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。

证： 设、是阶对称矩阵，即,，则：

性质2 设为阶方阵，则，，是对称矩阵。

证： 因为，则是对称矩阵。

因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵。

性质3 设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）。

证 ：（1）因为可逆，，，所以是对称矩阵。

（2）因为可逆，，，则是对称矩阵。

性质4 任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。