随着矩阵理论的逐步发展，矩阵知识体系的深入研究，新的问题也在不断的产生。除线性方程组求解以外，在求逆矩阵，矩阵的秩，过渡矩阵，最大公因式，化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等多种问题中，矩阵的初等变换还有着相当广泛的应用。当然我们知道，数学存在一题多解，我们还有很对其他的方法可以对他们进行求解，但是不同方法各有利弊，在我们用矩阵的初等变换来进行解题时，我们常常会觉得计算更加简单，并且更加的便于理解。矩阵初等变换的本质，就是把复杂形式的矩阵转化为简单形式的矩阵便于计算和讨论它的性质。随着数学知识体系的不断发展，矩阵的应用已经深入到自然、社会、经济等各大领域，我们的学习已不能仅仅局限于对旧知识的学习，而是应该理论的知识联系着实际，运用理论知识解决实际问题。本文会对如何利用矩阵初等变换来解决求极大线性无关组和秩、最大公因式、过渡矩阵、逆矩阵以及将二次型化为标准形等问题进行简单的分析与讨论。

下面我们先看看矩阵初等变换的定义以及矩阵初等变换的性质。

2  矩阵初等变换的定义及性质

    矩阵初等变换包括矩阵初等行变换和矩阵初等列变换[[[]张志让，刘启宽。 线性代数与空间解析几何(第二版)[M]。 北京：高等教育出版社，2004。]]

2。1  矩阵初等变换的定义

    定义1[[[]王萼芳，石生明。 高等代数(第三版)[M]。 北京：高等教育出版社，2003。]]  所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：

(1) 倍数变换：以中一个非零的数乘矩阵的某一行；文献综述

(2) 消法变换：把矩阵的某一行的倍加到另一行，是中任意一个数；

(3) 换位变换：交换矩阵的任意两行。

同理，我们可以对矩阵初等列变换进行定义。

2。2  矩阵初等变换的性质

    矩阵的初等变换不改变向量组和矩阵的秩，不改变向量组的线性相关性，经过一系列初等变换得到的向量组或矩阵与原向量组或矩阵等价等，这些都是它的重要。此处，我给出了它的其他两个性质。

    定理1[[[]岳昌庆，焦继红。 矩阵与变换(第一版)[M]。 北京：北京师范大学出版社，2008。]]  第(3)种初等变换可以由第(1)、(2)种初等变换实施得到。

定理2[3]  设是数域上一个矩阵，其中且，若经过初等行变换变为矩阵其中，则有 。

说明　由定理1得出，只需进行其中的两种初等变换就能起到三种不同初等变换的作用。定理2得出，矩阵中行向量的线性表达式的求解能够通过简单的初等列变换得到。同样的，对列向量的情形也有着类似的结论。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

下面我们对应着定义以及性质给出它们相应的应用。

3  矩阵初等变换的应用

3。1  求逆矩阵

3。1。1  逆矩阵的定义

    定义2[[[]张禾瑞，郝炳新。 高等代数(第五版)[M]。 北京：高等教育出版社，1999。]]  设为方阵，若存在阶方阵，使则称为可逆矩阵或是可逆的，并且称为的逆矩阵，记为。

3。1。2 求逆矩阵的方法

逆矩阵的一般求法：对于可逆矩阵，因为(其中，表示的伴随矩阵),如果，那么由　　　　　　　　　可得　　　　, 

但是此方法计算量相对较大，特别是阶数较大的矩阵不大实用，所以，我们给出了另一种求逆矩阵的方法：初等变换法。

方法一  对于可逆矩阵，由于，我们用初等行变换将的左边化为单位矩阵，则右边就是所求的逆矩阵。