令      =

            =

            =

            =

和 ,,其中,,,,,

,则称环绕。

    定义3 设是的一个临界点且,并且在处有一个关于

的局部环绕,即存在充分小的使得

        ,         那么 , 也就说是的一个同调非平凡临界点。

    引理2设是实可分空间,满足条件,有下界,且有一个同调非平凡的,非极小的临界点,则至少有三个临界点。

1。3差分方程周期解的研究概况

    郭志明、庚建设在文献中讨论了二阶差分方程的周期解的存在性与多重性,得到了如下的结果：

定理1。1：假设满足下列条件

    假设且存在正整数使得,有 

       ；且;

    存在常数,,使得对任意的,有

        ;

则对任意给定的整数,方程至少存在三个以为周期的周期解,其中至少有两个是非平凡的周期解。

    2004年,周展等又把文献中的条件改进,并且推广到高维空间中,得到了如下的结果：

定理1。2：假设满足下列条件文献综述

    假设且存在正整数使得,有

       ；且;

    存在常数,,满足,

    存在常数>0,以及,当是偶数时,当是奇数时,满足则方程至少存在三个以为周期的周期解,其中至少有两个是非平凡的周期解。

    庚建设等在文献中考虑了一维超二次的二阶自治共轭差分方程-+=0 的周期解。在,分别满足不同的条件时,得到如下结果：

定理1。3：假设该差分方程是m周期系统,即,,

且满足如下条件：

    ,有；

    ,有,且至少存在一个,使得；

    关于一致成立；

    存在常数,,对任意的,有；

则该差分方程至少有两个非平凡的周期解。

1。4 本文的主要工作

    2003年,文献利用临界点理论给出一种新方法以研究如下差分方程周期解的存在性

                                              (1)

    本文在下面(2)式给出的非齐次非线性差分方程

                                           (2)

周期解的存在性的基础上, 将(2)式推广到如下二阶含参量非线性差分方程(3)式, 即研究了下列二阶含参量非线性差分方程的周期解。

2 一类二阶非线性差分方程周期解的存在性

2。1 引言

    近几十年来,由于生产实践的需要使得差分方程得到了迅猛的发展。关于差分方程的一些性质,如稳定性、吸引性、振动性等,都已经有了很多研究成果。如文献及其参考文献,但关于差分方程周期解的研究成果相对较少（如文献）,目前主要研究方法是运用临界点理论及重合度理论,究其原因是缺乏必要的技巧或方法来处理有关离散变量的问题。本文通过建立适当的变分结构,利用临界点理论得到了差分方程(2)式的周期解存在性的一些结果,在此基础上推广研究了差分方程(3)式周期解的存在性。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

2。3变分结构

    设表示一切实数序列所组成的向量空间,对任意给定的正整数和m(),定义为,则称为的线性子空间,并且与同构。定义上的内积、范数分别为