在不知道随机变量具体分布的时候如何估计随机变量发生的概率，这个问题是概 率论中一直存在着的一个问题。为了更好地解决这个问题,Chebyshev 经过分析论证 最终成功地提出了一项重要的不等式,即后来我们所熟知的 chebyshev 不等式，这个 不等式的提出为解决概率分布问题发挥了至关重要的作用论文网，它使得我们可以在随机变 量具体概率分布未知时，只需要有随机变量的期望和方差就可以大致判断出该随机变 量可能发生的概率。在此基础上，他通过研究最终找到了比先前的不等式应用更广泛 的新不等式，打破了先前 Chebyshev 所提出的需要随机变量的方差和期望必须同时知 道这一定式，使得在探讨随机事件概率问题的时候只需要知道数学期望就可以估计出 随机变量发生概率,即后来的 Markov 不等式。

1。2 本论文的主要方法和研究进展

先仔细了解概率论中重要不等式的一些基本知识，熟练掌握其基本概念及理论。 在此基础上进行应用推广，解决一些相关的数学知识。在研究过程中，我们需要先整 理所需研究的几个基本的概率不等式的准确概念和相关知识，再次基础上再查阅相关 资料，包括国内外的相关文献资料，进行分类整理。在综合分析过后，结合自身所学 知识，我将主要研究的不等式对象确定为 Markov 不等式、Chebyshev 不等式、Jensen 不等式、Minkowski 不等式和 Holder 不等式。并依次对它们进行分析，列举了一些 利用这些不等式解决数学问题的方法。文献综述

1。3 本论文的主要内容

主要研究 Markov 不等式和 Chebyshev 不等式在中心极限定理中的应用，这两 个不等式是概率论中最重要也最基础的不等式，我们从这两个不等式出发，结合中心 极限定理，通过对指数函数基本性质的讨论得出新的不等式，再利用这些不等式，对 服从两点分布的独立随机变量 X1,X2,…,Xn 进行讨论,首先我们利用 Chebyshev 不等

p(1–p) 1

式得到随机变量Sn= ∑n

Xi的偏离方差ESn

的上界

2   ,但是我们发现它只有o[ ]阶

nε n

的收敛速度，然后再利用上面得出的新不等式得出一个新的理想上界，使它有更快的

收敛速度。

此外还会列举 Jensen 不等式和 Minkowski 不等式在一些概率论知识证明过程中 的应用，比如利用这 3 个不等式证明其他的一些数学不等式，从而得出很多新结论。

1。4 本论文的结构安排来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

首先会再次回顾这些重要的不等式的基本概念，然后再依次介绍这些不等式在大 学数学中的一些典型应用，最后再总结以上应用，加深对这些概率论中重要不等式的 了解。

第二章 Markov 不等式和 Chebyshev 不等式

2。1Markov 不等式

2。1。1 定义

定义 2。1：Markov 不等式：

现假设 X 是一大于 0 的随机变量,那么有下式成立：

P {   X ≥   ε } ≤  EX ，ε >  0。 （2。1）ε

证明：假设 X 是一随机变量，它的分布函数为F(x),那么

2。1。2 Markov 不等式的一些推广

现在，我们将概率论中的相关知识与加权和∑n P(X  ≥  ti)结合,进而将其扩展为