第二章 几种常用的数值解法 4

1  单步法 4

1。1 Euler 法 4

1。2  向后欧拉法 5

1。3  梯形法 5

2Runge-Kutta 方法 6

2。1Runge-Kutta 方法的构造 6

2。2 二阶显式 RK 方法 7

2。3 三阶 RK 方法 7

2。4 四阶 RK 方法 8

3  单步法的收敛性和稳定性 9

3。1  收敛性 9

3。2 绝对稳定性 10

4  多步法 11

4。1 Adams 显式方法 11

4。2 Adams 隐式方法 12

4。3  多步法的收敛性和稳定性 13

4。3。1 收敛性 13

4。3。2 稳定性 14

第三章  非线性方程数值解法及 Matlab 程序实现 15

1  二分法 15

1。1  二分法基本思想 15

1。2 二分法及 Matlab 实现 16

2  迭代法 17

2。1  迭代法的基本思想 17

2。2 不动点迭代法及 Matlab 实现 17

3Newton-Raphson 方法 18

3。1Newton 切线法 18

3。2Newton 法的计算步骤及 Matlab 实现 19

第四章 数值方法求解非线性模型 20

1。1 非线性常微分方程模型 20

1。2 高阶微分方程模型 26

结语 30

致谢 31

参考文献 32

附录 33

第一章 绪论

1。1 引言

自牛顿创立微积分理论以来，微分方程就一直是人们用来描述、解释或预见各 种自然现象和事物发展规律的重要工具。现代的科学、技术、工程中的大量数学模 型几乎都可以用微分方程来表述，很多自然科学的基本方程便是微分方程模型，譬 如经济学、物理学、生物学、医学、人口学等等，而其中的常微分方程模型也成为 了最基本的数学理论和方法[1]。

以至于在牛顿经典力学时代，人们普遍认同世界的本源是简单的这一观点，认 为只需要运用简单的线性模型便足以描述各种现象[2]。这一观念一直伴随着人们，直 到 20 世纪初，一系列复杂研究对象的出现冲击了人们的传统思想，当需要描述更加 复杂的数学模型，如人口模型、种群竞争模型、疾病传染模型、利率涨跌模型等等 时，单单依赖线性模型已经显得捉襟见肘，更多时候，我们需要建立非线性的模型 才能解决问题，非线性科学的研究应运而生[3]。论文网

我们赖以生存的自然界中便存在着大量复杂的非线性现象，如上升的热气球、 飘散的雾霾、摇摆的树叶、涌动的气流、漂浮的尘埃、汹涌的河流等。天文学从研 究开始便存在着一系列非线性问题，如宇宙尘埃的浮动、行星的绕转以及自转等等 各种星体运动，其复杂多变性远远超过人们想象。生命科学和社会生活领域，也存 在着复杂的非线性现象，如生物胚胎的发育、脑神经的活动、心脏的搏动、买卖关 系的变化、商品供求波动、股票价格的涨落等，都随着时间的变动而瞬息万变[4]。因 此，非线性问题的研究已经成为自然科学、工程技术、哲学及社会科学的一大热点。