摘 要：C。-R。方程是复变函数论中一个重要的问题, 它的应用贯穿复变函数论的始终。本论文首先介绍了什么是C。-R。方程以及它的历史来源，紧接着介绍了关于C。-R。方程的几个性质定理。最后利用C。-R。方程来证明一些定理和例题，使我们对C。-R。方程的应用有了更深入的了解。79471

毕业论文关键词：C。-R。方程；解析函数；区域

C。-R。 Equation and Its Application

Abstract: The C。-R。 equation is an important problems in the complex function theory, and its application will be throughout the complex function theory。 This paper first introduces what is the C。-R。 equation and its historical source, and then introduces several properties of the C。-R。 equation。 At last we use C。-R。 equation to prove some theorems and examples。 So that we can have a certain understanding on the application of C。-R。 equations。     

Key words: C。-R。 equation; Analytic function; Area。 

目    录

摘  要 1

引言 2

1．C。-R。方程 3

1。1 C。-R。方程的由来 3

1。2有关C。-R。方程的重要结论 4

2．C。-R。方程的应用 5

2。1利用 C。-R。方程判断函数的可微性与解析性 5

2。2 C。-R。方程的不同形式 9

结束语 14

参考文献 15

致谢 16

C。-R。方程及其应用

引言

C。-R。方程在最早叫做达朗贝尔-欧拉方程，是由法国数学家达朗贝尔和瑞士的数学家欧拉在钻研中得出来的，但是他们没有将其与我们所学习的复变函数联系起来。之后，在数学家柯西和黎曼两个人的共同下，通过对这两个方程更深入的理解和推导，得到了我们现在所说的柯西-黎曼方程，也就是C。-R。方程。

目前已有很多国内外文献对C。-R。方程的性质和应用做出了大量的研究，文献[1-2]讨论和介绍了模糊复柯西黎曼方程，以及非齐次柯西-黎曼方程如正则可积问题，文献[3]讨论了在复Banach空间中，柯西-黎曼方程的全纯解具有同样的性质，文献[4-6]主要讨论了在复变函数论中，如何用C。-R。方程来判断复变函数的解析性，解析函数与C。-R。方程的几个等价条件和各等价条件之间的关系和应用，利用柯西-黎曼方程的一些定理可以使解决某些问题的方法简单化，文献[7]介绍了柯西-黎曼方程的由来以及以及它在各个领域的价值，还给出了用全微分法的求解方法。 

本文在查阅相关资料和文献的基础上，通过对参考文献的仔细阅读及深思对C。-R。方程做出来进一步的探讨与研究。本文首先给出了C。-R。方程的由来、产生的原因以及与之有关的性质和定理。在此基础上研究了C。-R。方程的应用，通过举例证明了C。-R。方程在判断复变函数的可微性和解析性方面的重要性，最后从不同的角度导出了C。-R。方程的几种形式，并进行了举例证明。

1．C。-R。方程

1。1 C。-R。方程的由来

C。-R。方程刚开始叫做达朗贝尔-欧拉方程，它最早出现是在18世纪，在1752年，达朗贝尔虽然通过研究得到了所谓的柯西-黎曼方程（也就是C。-R。方程），但是他的注意力没有与复变函数联系起来。

欧拉在1776-1783年间开始利用复函数计算实积分的值，也得出了C。-R。方程。欧拉认为假设，其中为实函数，那么关于就具有形式。他利用这个断言去求实积分的值。假设   （1）