2 单位圆上膜振动方程的混合问题

2。1 变量分离法求形式解

考虑单位圆x,yx2y21上膜振动方程的混合问题：

其中是的边界即单位圆周，(x,y)及(x,y)是已知函数。作极坐标变换

的解。先求分离变量解ur,,tR(r)()T(t)，则

R(r)()T(t)R(r)()T(t)1R(r)()T(t)1

其中是常数，与r,均无关，因此R(r),()分别满足

上述特征值问题的解必须以2为周期，故

k2

k()akcoskbksink,k0,1,2,…

其中ak，bk是任意常数，与kk

相对应，R(r)是下述特征值问题的解：

其中方程成为贝塞尔（Bessel）方程，问题的解称为贝塞尔函数，这是一类重要的特征函数，有广泛的应用。我们下一节会详细讨论它的一些性质。

作形式解

其中Ak,l,Bk,l,Ck,l,Dk,l是待定的常数。易证：若上述二重级数收敛并可以逐项微分两次，则形式解u(r,,t)满足问题中的波动方程和边界条件[1][13]，为满足初始条件，则必须有：

这要求把(r,)及(r,)在圆域r,0r1,12上展成关于带权正交函数系

的二重傅里叶级数，并由此确定Ak,l,Bk,l,Ck,l,Dk,l

取出J0(x)的第k+2项求导数



x2k1 

(1)k1 

2k1 2

2 (k1)!

 

2k1x2k1

x2k1

(1)k1 (1)(1)k

2k1 2

2 (k1)!

正好是J1(x)中第k+1项的负值。我们得到

由以上两式，得：

 n n n1

nJn(x)xJn(x)xJn1(x)



nJn(x)xJn(x)xJn1(x)

我们分别约去Jn(x)与Jn(x)，

Jn1(x)Jn1(x)2Jn(x)

证毕。

注意：Bessel函数的递推公式对任意的n都成立。

这样，如果已知1阶，0阶Bessel函数，我们可以得到任意整数阶Bessel函数。第二类Bessel函数[4]：

J(x)cosJ(x)（n为整数）