摘要Marchenko研究Sturm-Liouville微分方程时引入了Riemann函数并证明Riemann函数的存在性，且在这类问题解的表示中用到了转换算子，本文讨论了转换算子的性质，并研究了一类特殊的转换算子满足特征线上固定初始条件的二阶偏微分方程，提出了一般条件下的二阶偏微分方程解的适定性问题，实际上这个问题即为积分方程问题，于是查阅并学习了不动点理论和第二类Volterra积分方程理论，用这两种方法解决了适定性问题，得出的结论是，若特征线上的边值函数二阶可微，则偏微分方程存在唯一古典解。本文的最后一章则是对一类Sturm-Liouville微分方程问题不同初始条件下的解做了简单的介绍并给出了广义三角函数的几个等式。80196

毕业论文关键词 波动方程特征线Sturm-Liouville问题转换算子积分方程

Title A boundary value problem of a wave equation with the boundary  of the characteristics on the triangular area。

Abstract In this paper, Marchenko studys the Sturm-Liouville problem by the Riemann function and proves the existence of the Riemann function。 And it uses a transformation operator in the representation of the solution of such problems。 After discussing the property of the transformation operator, we found a special kind of transformation operator is to meet a special initial conditions on the characteristics of Second Order Partial Differential Equations。 Therefore, we put forward a question of Second Order Partial Differential Equations on the normal conditions, in fact this is an integral equation problem。 So, we inquire the Fixed Point Theory and the second type of Volterra integral equation theory and use them to solve the posedness of the problem。 We conclude that if the function on the characteristics is second order differentiable, there is a Unique classical solution of the Second Order Partial Differential Equations。 In the final chapter of this article, we introduce solutions of a class of Sturm-Liouville differential equations on different initial conditions and list several equations of Generalized trigonometric。 

Keywords Wave Equation Characteristics Sturm-Liouville problem    Transformation operator  Integral Equations 

目 次

1引言12Sturm-Liouville问题与Riemann函数22。1Sturm-Liouville问题2

2。2一类柯西问题4

2。3转换算子7

3波动方程在其特征线上的边值问题的适定性12

3。1波动方程的简介12

3。2波动方程的特征线12

3。3边值问题15

4广义三角函数的讨论27

4。1广义三角函数的引入27结论31致谢32参考文献33

图2。2。14图2。3。2。19图3。2。1。213图3。2。1。314

第II页 本科毕业设计说明书

1引言

数学物理方程指的是在物理学、力学及工程技术问题中出现的反应客观世界的物理量相互关系的一些偏微分方程。其中关于几个典型的有实际背景的数学物理方程的研究阐述了这门学科最基本的理论和解法。本课题研究的是其中的一类波动方程，在查阅了波动方程几种基本边界条件和对应解法之后，研究在以特征线为边界的角型域上的边值问题，学习了不动点定理和积分方程的逐步逼近解法。还涉及到一类著名的常微分方程——Sturm-Liouville微分方程，了解了转换算子和广义三角函数的概念。

2Sturm-Liouville问题与Riemann函数