这一章将介绍一类波动方程的分离变量解法和Sturm-Liouville问题的关系，介绍Riemann函数和如何用Riemann函数解决柯西问题，如何在解决一类Sturm-Liouville问题过程中引入转换算子以及转换算子的一些性质。

2。1Sturm-Liouville问题

2。1。1非齐次振动方程的分离变量解法与Sturm-Liouville问题

波动方程中，根据是否有边界，是否受迫，波动方程有半无界弦的自由振动方程，这类方程中的,需满足初值与边值的相容条件，利用达朗贝尔公式可得方程的解，弦的受迫振动方程，这归结为非齐次弦振动方程

的解，这需要利用线性方程的叠加原理与齐次化原理（Duhamel原理）；具有狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题，在区间[0,l]上考虑两端固定的有界弦的自由振动问题：

如果该方程有古典解u(x,t)C2([0,l][0,))，则

(x)u(x,0)C2([0,l]),(x)u(x,0)C1([0,l]),则在端点(0,0),(l,0)处它们应满足相容条件

(0)(l)(0)(l)(0)(l)0。

(x),(x)满足这些条件，即可用变量分离法求解，下面只给到涉及到Sturm-Liouville问题的步骤。

为了求形如X(x)T(t)的非零解，即变量分离的解。将其代入原方程得

X(x)T(t)a2X(x)T(t)0, 0xl,t0,

X(0)T(t)X(l)T(t)0, t0。

于是其中是与x,t均无关的常数，因此X(x),T(t)必须满足

要设法确定常数使上述常微分方程边值问题有非零解X(x)。这类问题就是Sturm-Liouville问题或称常微分方程的特征值问题。非零解X(x)称为问题的特征函数，相应的常数称为特征值。

2。1。2一般情形下的Sturm-Liouville问题

求常数使边值问题

(p(t)X(t))q(t)X(t)r(t)X(t)0

有非零解X(t)，这样的常数称为上述问题的特征值，非零解X(t)称为相应的特征函数。关于这个特征值问题有下述重要结论：

定理2。1。2。1[3]

假设q(t),r(t)C([a,b]),p(t)C1([a,b])是已知函数，在区间[a,b]上满足p(t)0,r(t)0,

常数i0,i0,满足ii0,i1,2。则上述方程有可数个特征值{k}满足以下条件：

（1）k关于k严格递增；

（2）当k时，k

（3）相应的特征函数系{Xk(x)}关于权函数r(t)加权正交：

定理2。1。2。1证明涉及常微分方程边值问题的格林函数构造及具实对称核积分方程理论。通过构造格林函数把常微分方程边值问题的求解归结为解具实对称核的积分方程，再由具实对称核积分方程的特征值理论得到上述结论。

2。2一类柯西问题

在研究一类Sturm-Liouville微分方程时，我们用到了转换算子的概念和性质，而转换算子需要另一个问题引出，也就是即将介绍的柯西问题。

uxx(x,y)q1(x)u(x,y)uyy(x,y)q2(y)u(x,y),

u(x,0)(x),uy(x,0)(x)。

这个二阶偏微分方程我们称为一类柯西问题，令u(x,y),(x,0y)为上式柯

西问题的一个二阶连续可微解。又有方程

令R(x,y;x0,y0)表示上式问题二阶连续可微问题的解。区域D如下图所示，

其在特征线xx0(yy0)上的取值为1，联立两个函数R,u得到在区域D上满足等式

函数R(x,y;x0,y0)称为黎曼函数，为解决上述柯西问题，我们需要证明满足以上性质的