摘  要本文主要讨论了如下非线性分数阶积分微分方程边值问题其中是第一型积分算子。运用不动点定理和压缩映像原理，得到该问题解的存在且唯一的充分条件。

毕业论文关键词：分数阶积分微分方程  边值问题  压缩映像原理  不动点定理  存在唯一性 81150

Solution for the Boundary-value Problem of a Class of Nonlinear Fractional Integral differential Equations

Abstract

This article mainly discussed the following nonlinear fractional integral boundary value problem:

where S is type 1 Fredholm integral operator。By using the Schaefer fixed point theorem and contraction mapping principle,we obtained the existence and uniqueness of positive solution for nonlinear fractional integral boundary value problem。

Key Words: fractional integral differential equation  boundary-value problem  contraction mapping principle  fixed point theorem  existence and uniqueness of solutions

目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

0 引言-1

1 预备知识-1

2 主要结论及其证明-3

3 举例-10

参考文献11

致谢12

0 引言

近年来，分数阶微分方程在工程、科技、经济、信号识别以及控制理论等领域得到了广泛的研究和应用，在对实际问题研究中也经常遇到较为复杂的含积分的分数阶微分方程。

本文主要讨论了如下非线性分数阶积分微分方程边值问题文献综述

解的存在唯一性，其中

且是第一型积分算子，定义为

近年来，随着非线性科学的发展，人们开始运用非线性分析的方法研究分数阶微分方程边值问题的解的存在性。

文献[4]运用上下解的方法研究了下列分数阶微分方程边值问题

正解的存在性。

文献[5]运用压缩映像原理证明了下列分数阶微分方程边值问题

解的存在唯一性，利用不动点定理证明了在一定条件下，该边值问题至少存在一个正解。

本文主要运用不动点定理和压缩映像原理证明分数阶微分方程边值问题在满足一定条件时，解是存在唯一的。

1 预备知识

在本节中，我们将给出本文要用到的一些基本概念和基本结论，这些内容可参见文献[6]，[7]等。

定义1。1  函数的阶分数阶导数为

其中，为函数，，表示取整。

定义1。2  函数的阶分数阶积分为

其中，为函数。 

定义1。3  记为定义在内所有连续函数组成的集合，为所有-可积函数组成的集合，这里，记≜特别地，≜

引理1。1  若有阶导数属于，则

，其中

定理1。1  （定理）是一个列紧集的充要条件是一致有界且等度连续。 

定理1。2 （不动点定理）设是一个空间，映射是一个全连续映射。若集合是有界集，则映射在中存在不动点。

定理1。3  （压缩映像原理）设是空间中的一个非空闭子集，映射为压缩，即（为常数），则存在唯一的使即在内有唯一的不动点。

2 主要结论及其证明

在给出主要结论前，我们先证明下面的引理：

记其范数显然，是一个空间。来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-

引理2。1 假定则边值问题

证明 由引理1。1，先将式转化成等价的积分方程

由边值条件

定理2。1 假设是连续的且存在一常数使得对和有则边值问题至少有一个解。