本文的主要内容主要分为三大部分:第一部分介绍了凸函数的相关定义,第二部分介绍了凸函数的两个判定定理,第三部分探讨了函数的凸性的相关知识在证明不等式中的应用。运用函数的凸性最大的优点就是使得问题变得容易理解,使得分析步骤得到简化。

1。凸函数的相关知识

1。1凸函数的定义

   定义1  设是区间上的函数,对和且为实数总有

,

则称为上的凸函数。

引理  为上的凸函数的充分条件是：对于上的任意三点总有

。

   定义2  设是区间上的函数,在区间上为凸函数的充分必要条件是：,,有文献综述

定义3  设是区间上的函数,在区间上为凸函数的充分必要条件是：,,…,有

定义4  在区间上是凸函数的充分必要条件是:则也是上的凸函数。     

定义5  在闭区间上连续,在开区间上可导,则对上有

1。2。凸函数的判定定理

定理1  若函数是区间上的可积单调递增的函数,则函数是上的一个凸函数。

定理2  若在区间上存在,则在上称为凸函数的充分必要条件是：在上。

证法1  ,设,则,

则在区间,上都满足拉格朗日中值定理的条件故使得:

以上两个式子相减得到：

由于可知是上的严格单调递增函数,

当时所以可以得到即有所以为上的凸函数。

    证法 2   ,令,则,由定理的条件知在区间内满足泰勒中值定理,因此

令上式中的分别取值,

以上两个式子相加,并因为,,可以得到:

因此所以可以知道为上的凸函数。    证法3  反证法,设,有

可知,,使得来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-

另外,根据,是关于的递减函数,

但是这个函数当时等于0

因此

,

这与凸函数的定义相互矛盾,因此。

1。3凸函数的性质

    性质1  函数是区间上的凸函数,,那么则有也是区间上的凸函数。

    性质2  若都是上的凸函数,则也同样是上的凸函数。

性质3  函数是单调递增的凸函数,函数是凸函数,则函数也是凸函数。

性质4  若是上的凸函数,则也为上的凸函数。

     证明  在上的凸函数,因此它在内连续,在上有界,所以可以得到,令时,