摘要：本文主要研究了超BKK族的自相容源和守恒律。 通过学习两类超Tu族的自相容源和守恒律的相关知识和查询的相关文献,首先运用Lie超代数相关的超BKK族的谱问题和超迹恒等式得到超BKK族及其超Hamilton结构;其次根据超孤子族的自相容源的计算方法，借助线性系统来建立超BKK族的自相容源；最后通过变量的展开比较以及递推公式，还建立了超可积BKK族的无穷守恒律。 特别的，费米变量在计算过程中起了重要作用。 82502

毕业论文关键词：Lie超代数；超迹恒等式；自相容源；守恒律

Conservation Laws and Self-Consistent Sources for a Super-BKK

Equation Hierarchy

Abstract：The main purpose of this paper is to discuss the self-consistent sources and the conservation laws for a Super-BKK equation hierarchy。  Through the learning of two types of super Tu hierarchy self-consistent source and conservation laws related knowledge and query the relevant literature。 first of all, to use the spectral problem for super-BKK equation hierarchy which related Lie super algebras and supertrace identities, we could have the super BKK hierarchy of soliton equations; then based on the calculation of the self consistent source for the super soliton family, the self consistent source of the super BKK hierarchy is established by using the linear system。 Finally, through the variable expansion and comparison formula, we also establishe the infinite conservation laws for Super-BKK equation hierarchy。  In particular, the Fermi variables play an important role in the calculation process。 

Key words: Lie super algebras；Supertrace identities；Self-consistent sources；Conservation laws

目  录

摘要 1

引言 2

1 超BKK族 3

2 超BKK族的自相容源 8

3 超BKK族的守恒律 10

4 结束语 17

参考文献 18

致谢 20

超BKK族的自相容源和守恒律

 引言

随着数学这一学科的发展和进步，在最近的几十年里面，孤立子理论在研究发面取得了非常大的进步，其成就也是可见一斑。 孤立子理论被广泛的应用到多个领域，比如数学、物理和天体物理、生物等等[1-7]。 孤立子理论其本身的复杂性和多样性使得研究学者们从不同的方面进行研究，例如自相容源和守恒律、孤子方程哈密尔顿结构等。 

近几年，可积系统的发展如火如荼，而且超可积系统也越来越来引起人们的关注。 许多在数学上有所建树和研究成果的专家学者都开始涉足这一领域，并且取得了很大的成就。 比如在文献[8]中，马红彩等所做的研究就是在这个方向上的。 

对于自相容源而言，孤子方程的自相容源是孤立子理论研究的重要内容，并且也越来越引起人们的兴趣，促使专家学者在这个领域进行更深层次的研究。 它一般是用来描述不同孤波之间的相互作用，以及与此有所联系的一些问题。 比如，带自相容源的KdV方程，可以描述等离子体中高频波包和一个低频波包的相互作用。 在不久前，超Guo族[9]和两类超Tu族[10]的自相容源被计算出来并发表。 文献综述

相对于自相容源而言，守恒律是在研究孤子方程的可积性这一方面起到了非常重要的作用。 在二十世纪六十年代，Miura,Gardner和Kruscal最先发现了KdV方程的无限守恒律[11]，之后又发现了许多寻找方程的无限守恒律的方法。 另外，守恒律也在数学以及工程等方面起着非常重要的作用，许多文献都涉及到了守恒律，并且利用乘子直接来计算守恒律的方法也已经被给出[12,13]。 1975年日本数学家Wadati，Sanuki和Konno从AKNS方程所对应的线性问题出发证明了AKNS方程族也存在无穷守恒律。 此后，研究者们又得到Toda链方程族的无穷守恒律。