摘要：本文主要讨论二阶变系数线性微分方程的求解问题。首先，介绍一些系数满足特殊条件的方程；再利用变量代换法，常数变易法将变系数线性微分方程转化为已知的可求解的线性微分方程进行求解。再通过一些具体的例子进行举例求证。83040

毕业论文关键词：变量代换法；常数变易法；降阶；Euler方程；通解

A Solution to Second Order Linear Differential Equation With Variable Coefficient

Abstract:This paper focuses on the a solution to second order linear differential equation with variable coefficient。First,introduce some coefficient satisfy special condition equation。Then use variable substitution method and variation of constants method,changing constant coefficient equation will be converted to a known linear equations can be solved to solve 。Through some special examples to verify。

Keywords:Variable substitution method;variation of constants;Reduced order;  Euler equations;General solution

目    录

摘要 1

引言 2

1。几类特殊二阶微分方程的求解 3

1。1 若方程系数满足的情况 3

1。2若方程系数满足的情况 3

1。3若方程系数满足的情况 4

2。通过变量代换求方程的通解 5

2。1通过变量代换化为可降阶的方程  5

2。2通过变量代换法化为Euler方程 8

3。用常数变易法求方程的通解 10

3。1已知方程的一个特解求齐次方程的通解 10

3。2已知方程的一个特解求非齐次方程的通解 11

4。可化为常系数的方程的求解 12

5。结束语 13

参考文献 14

致谢 15

二阶变系数线性微分方程的求解

    引言

    常微分方程在大学课程学习中是非常重要的，并与其他数学课程的学习有着紧密的联系。数学分析课程中导数与微分这一节为我们学习微分方程打下坚实的基础。在数学建模中，建立的许多模型就是微分方程模型。因此，求解线性微分方程是研究数学模型的关键一步。伴随着科技的无限发展与创新，微分方程在各个学科领域都受到了极大的重视并且都起着重要的作用，比如在物理、生物、化学、航天航空，经济和金融等许多领域都可以描述成相对应的微分方程来进行求解。论文网

    大学课程中我们学习了一阶线性微分方程和二阶常系数方程的求解，但对于二阶变系数方程的求解却没有进行详细的介绍，唯一清楚的是变系数二阶方程的求解过程繁杂没有一定的规律。经过研究证明给出了幂级数法。但是由于幂级数法计算复杂，计算量繁大，而且得到的是无穷级数解或近似解，不利于理论上的分析。因此寻求一种计算简便的方法是十分有必要的。求解变系数线性方程可以从我们所学过的线性方程着手，将方程向已知的线性方程进行转换。如著名的Euler 型方程，经变量代换可将变系数化为常系数。但那只是某种有限的变换，只能解决其中一类方程。然而对于一个复杂一些的函数，此方法显然是行不通的，因此要寻求一种更为有效的求解。目前有几种较为普遍且方便的方便，即为变量代换法，常数变易法，其总体思想均为化简二阶变系数方程，从复杂的方程中找到一定的规律并通过大量的实例进行证明。从而得到一种全新的方法。