论旋转曲面面积的计算方法(3)
所在直线是定直线 ,过点 作直线 的垂线，
垂足为 ,显然,平行四边形 的面积
定理9[6] 设空间光滑曲线 ，
空间直线 ，且过曲线上任意一点与 垂直的平面和 只有一个交点，则 绕 旋转任意角度 所成的旋转曲面的面积为
证 在空间光滑曲线 上任取一小弧段 ，由弧长公式可以得到
设 ， 是直线 的方向向量, 为 与 的夹角，则 .设 为 在 上的投影，点 到直线 的距离是 ,则 = ，因为
将 记为 ，当 绕 旋转的角度为 时，点 旋转所形成的弧长 ，旋转曲面的面积微元为
所以，旋转曲面的面积为
特别地，当空间曲线 是平面曲线 时，即 的表达式为 ，
为平面直线 时，即 ,旋转的角度是 时，根据上述定理可以得到
代入公式可以得到
.
定理9适用于过旋转轴上任意一点与旋转轴垂直的平面和空间曲线 只
有一个交点的情形.当旋转轴的垂面与空间曲线 有多个交点时，可以对空间曲线进行分段，然后再分别计算旋转曲面的面积.如果空间曲线是分段光滑的，同样可以采用分段计算的方法.上述定理利用微元法计算旋转曲面的面积，便于理解掌握，同时注意引导学生掌握“在微小局部内以匀代非匀，求得近似值.再求近似值，把近似值转化为精确值”的基本思想，涉及的数学思想可以有效提高学生的分析，解决问题的能力.
2.2.2 坐标变换法
定理 10[7] 若
为空间一光滑曲线， 绕空间任意直线 ：
旋转得到图形 ，则旋转曲面 的面积为：
其中，当 不平行于 轴时:
当 平行于 轴即 时:
上述定理适用于空间曲线绕定直线旋转的情形，在应用定理10时，同样要注意如果空间曲线是分段光滑的情形，此时应分段计算.并且要判断旋转轴是否与轴平行，根据不同情况进行坐标变换，然后再代入公式.
3. 应用举例 例1 计算圆 在 上的弧段绕 轴旋转所得球带的面积.
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