2。2。动圆过定点问题研究

例2： 已知椭圆 的离心率，且直线是抛物线 的一条切线．

( 1) 求椭圆的方程;

( 2) 点 为椭圆上一点，直线: ，判断 与椭圆的位置关系，并给出理由;

( 3) 过点作椭圆的切线，与直线相交于点，以线段为直径的圆是不是过定点．若是，求出定点坐标; 若不是，请说明理由．

解：( 1) 易得椭圆方程是．

    ( 2) 直线与椭圆相切 ．

    ( 3) 首先取两种特殊情形: 切点分别在短轴两端点时，

求得两圆的方程，或 ．

    两圆相交于点为 ，．

若定点为椭圆的右焦点  ，

        则需证明: ⊥  ．

设点 ，则由( 2) 知椭圆过点 的切线方程是:

                        ，

所以点

 A ．

        易知· = 0，

         所以⊥ 

           若定点为，

           则，（不满足题意．）

综上，以线段为直径的圆恒过定点 ．

解题思路（本题1。2两问是基本性质的考察，很容易求解 。第3问中求圆过定点问题，从2种特殊情形入手，定点分别为左右焦点，根据向量之积为，从而得证。解此类问题基本概念一定要清晰。）

    例3：已知椭圆：与轴与两点，垂直于轴的直线过定点,是椭圆上异于的任意一点，，若直线交直线于点，直线交直线于点，则以为直径的圆C总经过定点

证明：设直线PA,PB的斜率分别为，

                    则

       直线PA:

       直线PB:，

        ，

       所以

设以MN为直径的圆c与x轴的交点为;

则由圆的相交弦定理可得：

所以

可得以MN为直径的圆C经过的定点。

当，以MN为直径的圆C经过椭圆的右焦点。

2。3。与切点弦有关的定点问题

   例4：二次曲线:，经过二次曲线外部一定点作的切线，切点分别为。若表示双曲线，则点不在双曲线的渐近线上，设线段的中点为,则直线经过原点。

证明：当点落在坐标上时，成立。来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

      当点不在坐标轴上，直线,斜率存在，

  又曲线在两处的切线方程为

因为是的公共点，

                 有，

所以直线方程为

      。。。。。。2

      由1。2得,即直线PM经过原点。

解定点问题思路（定点问题就是在运动变化中的直线或曲线恒过定点不因直线或者曲线的变化而发生变化寻求不发生变化量的问题，解决此类问题基本思方法是使用参数法表示要曲线或直线的变化情况，证明要求问题与参数无关．这种情况下的的题型中选择消元的方向是非常关键的，能够减少大量计算．）

3．圆锥曲线定值问题研究（与斜率。倾斜角有关的定值问题，与圆有关的定值问题，）

    3。1。与斜率。倾斜角有关的定值问题。

    例5：　给定抛物线 , 在 轴的正半轴上是否存在一点, 使得对于抛物线的任意一条过点的弦, 都有为定值? 若存在, 求出定点和定值; 若不存在, 说明理由。