称它们分别为公式的第一特征多项式和第二特征多项式。

定义2。若,则称公式是相容的。

定义3。若的根,且若有,必是单根,则称此多步法满足根条件。

定理1。若公式是相容的,且满足根条件,则多步法收敛。

2。线性多步法的基本公式

2。1线性多步法全部基本公式的导出思路

线性多步法的构造方法有多种,根据线性多步法的构造方法能构造出来的线性多步法公式还有许多,但是在我们的一般文献中只通常只介绍了数十个常用的重要算法。线性多步法的基本公式是有限个数量的,但是非基本公式可以有无穷多个,在实际问题中应用的线性多步法公式大都是基本公式。所以学会推导出所有基本公式对以后解决实际问题将有很大的帮助。

定义4。用方程组(1。2)待定系数唯一确定出来的线性多步法公式称为线性多步法公式的基本公式。

历代数学家们研究推导出来的现有的线性多步法公式几乎都是基本公式,如在生活中使用最广泛的Adams公式,Gear公式等都是基本公式。若记线性多步法的公式系数和公式系数 ,显然有,若其他的都是自由参数,则可得到的最高自由度为,若令其中一部分参数为零,只保留个自由参数,为了保证得到的公式不小于阶,我们令。于是的范围为,这时我们可以令,然后我们能得到共个方程的线性方程组,如果此方程组所有系数组成的系数矩阵非奇异,则可以求出该线性方程组一个唯一的解,从而就确定了一个线性多步法的基本公式。

只要构造条件给出,即对提出要求,令的某些参数为零,通过(1。2)线性方程组待定系数求解就可以推导出基本公式。列出参数所有这样的组合,就可以通过求解所有这样的组合组成的(1。2)式的方程组得到线性多步法的全部基本公式。

自动生成线性多步法基本公式的计算机算法原理:

求以上任一种组合所对应的求解出的一个基本公式都比较容易,不是很困难,但是要求解出所有组合的全部基本公式则工作量太大,用人工不容易实现。所以这里我们这里利用计算机Matlab软件的符号运算功能编制了计算机程序,以此来求出所以系数参数组合对应的全部基本公式。算法原理描述如下:

(1)确定多步法的步数,这时需要确定的参数最少为个,最多为个(为奇数)或个(为偶数); 

(2)计算机程序按照上述令某些参数为零的方法得到所有这样的条件组合;

(3)对每一个能生成公式的这样的参数组合令,构造出线性方程组;来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

(4)若构造出来的方程组的系数矩阵是奇异的,则判断方程组无解;

(5)用Matlab符号运算求解方程组,得到的精确分数形式的解;

(6)判断以上得到的所有公式是否有重复的,如果重复删除重复公式。

通过以上步骤我们只是得到的所有的基本公式,但它们是不是都是收敛的我们还不能确定,所以我们还需从其中筛选出所有收敛的公式保留下来,删除不收敛的公式。应用定理1可知,因为,所以得到的公式都满足相容性条件,若公式满足根条件则该公式是收敛,应当保留此公式,否则就删除此公式。这样就得到了步法全部基本且收敛的公式。

2。2常用的线性多步法公式

形如     (2。1)

的步法,称为阿当姆斯(Adams)方法。当时为显式方法,时为隐式方法,通常称为阿当姆斯显式公式(Adams-Bashforth)与阿当姆斯隐式公式(Adams-Monlton)。