本论文的目的是讨论随机微分方程在数理金融中是否存在套利及在欧式期权中的应用。要实现此目的，必须解决两个问题：一个是引进随机微分方程的基本理论，另一个是随机微分方程在数理金融中的具体应用。本论文主要分为四章，在前两章主要介绍随机微分方程的一些基础理论，后两章主要介绍随机微分方程在数理金融中的具体应用。

第1章 绪  论

1。1 随机微分方程的起源与和发展

随机微分方程最初起源于1905年，它的诞生具有一定的应用背景。Langevin在研究Brown运动时得到了如下微分方程      也即Langevin方程。这里的表示液体分子在某一方向上的运动速度，表示液体对颗粒的影响，而表示液体分子对颗粒的随机作用力。当为白噪声时，上述方程并无严格的数学意义。直到1961年，日本学者Itô发表了“论随机微分方程”一文，首次给出了随机积分定义，从而对随机微分与积分给出了一个合理的解释。从此随机微分方程有了坚定的理论基础，到七八十年代，随机微分方程的理论已经取得了迅速发展成为概率论学科的一个重要分支，并且在工程科学、生态科学、系统科学中得到广泛的应用。近年来，金融数学得到了蓬勃发展，随机微分方程在其中的应用也越来越突出，并且成为其重要的工具。

1。2 随机微分方程与数理金融的关系

数理金融的核心基础是Blank-Scholes公式，随机金融数学的发展，利用数学的随机概念对金融的定量与定性分析研究越来越普遍，特别是定量分析显得尤为重要，如利用随机微分方程的基本理论来描述市场和计算期权价格。随机微分方程之所以能应用于金融领域，是由于这门课程本身所具有的特性所决定的。如我们之所以能利用随机微分方程理论来解决期权定价问题，是由于期权价格的马尔可夫性质与弱型市场有效性相一致，即一种期权的价格已经包含了所有信息，当然包含了所有过去的价格记录。随机理论在金融领域的应用可以追逐于20世纪初，Bachelier建立了“Theory of Speculation”,当时Bachelier就想着利用该理论计算期权价格。在他假定的条件下也得到了相关的期权定价公式，后来发现是布朗运动。

1973年，Black和Scholes利用随机理论和无风险投资理论得到了著名的Black-Scholes偏微分方程和欧式期权定价公式。至此，已经建立起了金融理论的基础，并且有了严格且坚定的数学基础。近年来，随着金融数学的蓬勃发展，用随机微分方程理论来定量研究金融市场越来越得到人们的关注。在此背景下，随机金融理论获得了巨大的发展，产生了巨大的经济指导效果。

第2章 预备知识文献综述

2。1概率空间，随机变量和随机过程

定义2。1。1 指定集合，则上的代数Ƒ是由的某些子集构成的集族且具有下列性质：

（1）ϕϵƑ；

（2）FϵƑϵƑ,这里=是F在中的余集；

     （3）,,…ϵƑA:=ϵƑ。

称(，Ƒ)为一个可测空间，一个可测空间(，Ƒ)上的概率测度P是一个函数P：Ƒ，使得

    （a）P(ϕ)=0,p()=1;

     (b)如果,,…ϵƑ且是互不相交，那么P=。称(，Ƒ，P)为一个概率空间。如果Ƒ包括中P外测度为零的所有子集，则称(，Ƒ，P)为完备的概率空间。

引理2。1。2 如果X,Y:是两个给定的函数，Y为可测的充要条件是存在一个Borel可测函数g：使得Y=g(X)。

定义2。1。3 随过程是带参数的一族随机变量：定义于概率空间(，Ƒ，P)上，取值于中。

定理2。1。4(Kolmogorov存在定理) 对任意的,…ϵT,kϵN，设，…，为上的概率测度，满足，中为的任意一个排列。