用什么样的函数来作为表示所要研究的函数级数的项，使我们才便于研究函数呢？用什么样的函数表示我们的元素最简便，更为合适呢？关于这些问题，当然不可能有唯一的答案。这要取决于所研究的函数的性质和我们对于函数提出的问题的本质，但是需要指明，有种重要的函数级数类具有推荐作用，因为每步都可应用它，这样就要求必须创建相应的一般理论。最后得出这样的函数级数就是幂级数（它的展开式的元素是自变量的整数次数幂——必须是非整数次幂）。

关于幂级数收敛性判断，求和问题的性质，求和问题也是重要的知识点。幂级数求和的求解是技术性较高，难度大的问题，较好的了解和掌握幂级数求和技巧和方法对学好幂级数有很好的学习价值和指导作用。论文网

作为特殊函数项级数的幂函数，因为具有结构形式简单，且作为一个非常有用的计算工具，数项级数的求和是个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项的和函数连续，可导、可积，也就是求和运算和极限运算求积运算、求导运算可以更换顺序。而级数具有收敛半径，在上内闭一致收敛或者逐项积分收敛区间相同，令幂级数的无限求和以及运算在收敛区间内可与求导、求积运算、求极限更换顺序，这样我们利用幂级数求数项和有了更充分的条件。

幂级数被当作基础内容应用于实变函数、复变函数等很多领域当中。幂级数在实际和理论中都有很多应用，能表示很多函数，对函数有很多的应用。

1．幂级数

1。1 定义

形如 （1）

的函数项级数称为幂级数。它是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看作是多项式函数的延伸（当时，该幂级数就是次多项

式函数） [1] 

1。2 收敛区间 

若幂级数（1）在处收敛，则对满足不等式的任何，幂级数（1）收敛而且绝对收敛；若幂级数（1）在发散，则对满足不等式的任何，幂级数（1）发散。[2]

证：设级数收敛，从而数列收敛于零且有界，则存在某正数,使得 

。

另一个方面对任意满足不等式的，设则有由于级数收敛，故幂级数（1）当时绝对收敛。

设幂级数（1）在处发散，如果存在某一个，它满足不等式，且使级数收敛。则通过第一部分可知，幂级数（1）在处绝对收敛，这与假设不成立，所以对一切满足不等式的，幂级数（1）都发散。

由此可知：幂级数（1）的收敛域是以原点为中心的区间。若以2表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径。实际上，它就是使得幂级数（1）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界。所以

当时，幂级数（1）仅在处收敛；

当时，幂级数（1）在（）上收敛；

当时，幂级数（1）在（）上收敛；对于一切满足不等式的，幂级数（1）都发散；至于在处，则幂级数（1）可能收敛也可能发散。

我们称（）为幂级数（1）的收敛区间。

2。 幂级数的求和方法

2。1 幂级数求和的微分方程法

2。1。1第一类

常见的幂级数如这一类型的，对它逐项求导，找到各导函数之间可以满足的方程，可以得到一个有关导函数的微分方程。[3]

例1：求幂级数的和。

思路：可以先设函数，再分别对函数关于进行一阶求导， 二阶求导。可得，。

把相加，可以得到方程

根据已学知识。

所以得出微分方程。所以只需次微分方程就可以。这是二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得，得出幂级数的和为。