摘要：压缩映射原理在泛函分析中有着非常广泛的应用，压缩映射原理即是解决某类不动点的存在性和唯一性的问题，以及求方程的近似解等。压缩映射原理即不动点理论，本文主要围绕压缩压缩原理及其定义的理解，然后运用该原理解决数学中微分方程解的存在性、唯一性、隐函数存在连续性、方程近似解以及数列的收敛性的问题。从而体现不动点理论在应用中的灵活性和普遍性，以及在现实生活中的实际意义。83612

毕业论文关键词：压缩映射原理;存在性;唯一性;近似解 

Contracting Mapping Principle And Its Application

Abstract: Contractioning mapping principle has a very wide range of applications in functional analysis, contractioning mapping principle is to solve certain types of mapping of the existence and uniqueness of fixed point problem, the approximate solution of the equation etc。 Contracting mapping principle namely fixed point theory, this paper mainly surrounding contracting mapping principle and the understanding of the definition, and then use this principle to resolve mathematics the differential equations of the existence, uniqueness, the implicit function existence and continuity question, approximate equation solution and convergence of the sequence。 So as to embody the flexibility and generalized of the fixed point theory in applications , the practical significanceand in real life 。

Key words: Contracting mapping principle; The existence ; Uniqueness; Approxim-ate solution

目    录

摘要 1

引言 2

1。 压缩映射原理及其性质 3

2。 压缩映射原理的应用 7

2。1  压缩映射原理证明解的存在性、唯一性 7

2。2  压缩映射原理证明隐函数的解存在且连续 12

2。3  压缩映射原理求方程近似解 17

2。4  压缩映射原理证明数列的收敛性 18

3。 结束语 20

参考文献 21

致谢 22

压缩映射原理及其应用

引言压缩映射原理是数学中众多分支中的一个知识点，确切的说该原理为泛函分析中的一个定理，泛函分析是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数学家希尔伯特、波兰数学家巴拿赫、美国数学家冯诺依曼等人都为此作出了重大贡献。泛函是函数概念的推广，函数是数与数之间的对应关系：。而泛函是函数与数之间的对应关系，比如上的连续函数全体记为。中的每一个函数都有一个积分值，即对任意的，总有唯一的实数与之对应,于是上的黎曼积分是一个泛函。论文网

不动点理论是由荷兰数学家布劳维在1909年创立的，并且不动点定理还有了更深层次的发展,追溯到著名科学Newton，Picard运用逐次逼近法解常微分方程，成为这里要讲的压缩映像原理的迭代思想。美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论。 1927年丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念。我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人推广了可计算尼森数，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定。

为了使压缩映射原理运用于合适的情形，前提是要根据我们所要讨论的问题先构造一个适当的度量空间，然后再验证该空间是否为完备的度量空间，还能验证此映射是否为该空间到自身的映射并且是压缩的。 此外，该原理可以简单地证明隐函数存在定理，该理论在求微分方程解的存在性和唯一性，求方程近似解中的得到应用。 且泛函分析中的非线性泛函分析理论是压缩映射原理的重要组成部分之一。 非线性泛函分析是以自然科学领域中的非线性问题为主要背景，由此建立了许多有关非线性问题的理论。 该原理还被应用于解非线性微分方程、积分方程、最优化理论、经济数学、动力系统、控制论等各种理论。