摘要：求解矩阵的特征值有很多不同的方法，例如幂法、初等变换法，而QR算法是一种求解中小型矩阵的特征值非常有效的一种方法。目前主要介绍用QR算法求上海森伯格矩阵及对称三对角矩阵的全部特征值。而本文主要介绍了如果矩阵是一般的矩阵或对称矩阵时，可以通过豪斯霍尔德方法将矩阵化为上海森伯格矩阵，然后再利用QR算法计算所对应矩阵的全部特征值。83613

毕业论文关键字：QR分解；豪斯霍尔德；海森伯格矩阵；特征值；迭代序列

Application of QR Algorithm for Solving Matrix Eigenvalue

Abstract: There are many different methods to solve the eigenvalue of the matrix，such as the power method and the elementary method,and the QR algorithm is a very effecti-  ve method to solve the eigenvalue of the small and medium matrix。 Now mainly introd- uces the characteristics of all Hessenberg matrix and three diagonal matrix with the val- ue of QR algorithm。 But in this paper are introduced if the matrix is general matrix or a symmetric matrix，matrix for Hessenberg matrix,and then use the QR algorithm to com- pute all the eigenvalues of the corresponding matrix through the householder method。

Key words:QR decomposition; Householder; Hessenberg matrix ;eigenvalue; Iterative sequence

目    录

摘要。1

引言。2

1。QR算法的基本原理3

  1。1 QR算法分解原理3

1。2 QR算法产生序列3

2。用正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg矩阵5

2。1 Housenholder变换与上Hessenberg矩阵5

2。2 Housenholder约化矩阵为上Hessenberg矩阵5

3。QR算法在求解特殊矩阵特征值的应用。8

  3。1 用单步QR方法计算上海森伯格矩阵的特征值。8

3。2 QR方法应用举例。11

4。总结12

参考文献。13

致谢14

QR算法在求解矩阵特征值上的应用

引言

随着科学技术的发展和提高，人们逐渐开始研究算法来解决现实中的某些问题，由于不同的方法花费的时间和金钱均不同，所以在解决这些问题时找到一种既简单又有效率的方法变成人们越来越追求的目标。

特征值是数学中一个重要的概念。特征值不仅在数学方面有很多的应用，在物理方面的许多领域的应用也是非常的广泛。特征值对于研究矩阵起着很重要的作用，如果研究一个很复杂的矩阵特性，这时，我们就可以把它转化为研究特征值的特点，从而将问题简单化[1]。所以，在实际生活中能够用矩阵来表示的事物，都可以采用特征值来将其简单化，从而研究事物的实质特性。目前已有大量文献对求矩阵特征值进行了探究，在很多实际应用中，经常需要多次迭代，因此寻求简单有效的求特征值方法是非常重要的。

本文主要研究的是利用QR算法求出矩阵的全部特征值，根据这一问题可将文章大致分为以下四个部分：

第一部分介绍QR算法的分解原理以及序列{}的产生。文献综述

第二部分是将一般矩阵变换成上Hessenberg矩阵[4]，使用的方法是Housenholder变换法。

第三部分通过使用QR分解的方法理论求出上Hessenberg矩阵的全部特征值。并且通过具体的实例进而说明QR方法对求解矩阵全部特征值起着重要的作用。

第四部分则是对文章的一个总结。

1。QR算法的基本原理

1。1 QR算法的分解原理

（QR分解定理）设∈ 为非奇异矩阵，则存在正交矩阵与上三角矩阵，使有分解

，

且当三对角矩阵的对角元素是正数时，该分解方法是唯一的[5]。