摘要：矩阵初等变换的方法是线性代数中的基本问题。其方法是通过行变换与列变换将矩阵化为阶梯型，以方便在解题过程中对问题进行分析。因此初等变换在代数中的应用十分普遍，本文主要介绍7种应用，分别为矩阵的秩、判断线性方程组是否有解、矩阵的逆、矩阵的特征值、向量的线性相关性与极大线性无关组、化二次型为标准型、求过渡矩阵。对于这些问题，利用矩阵初等变换后能够使问题中的矩阵化成阶梯型的形式，从而使问题变的简单。通过对例题的解答，直观的看出矩阵初等变换在具体问题中的应用。 83714

毕业论文关键词：初等变换；矩阵的秩；特征值；应用

The Method and Application of Elementary Transformation

Abstract：The method of matrix elementary transformation is the basic problem in linear algebra。 The method is through the row transform and column transform matrix into a ladder type, and convenient to analyze the problems in the process of problem solving。 So elementary transformation in the application of algebra is very broad, this paper mainly introduces seven kinds of applications。 There have seven method, for example: rank of matrix, determine whether there is solution system of linear equation, inverse of matrix, eigenvalue of matrix, the vector linear correlation and the maximum linearly independent group, the eigenvalues of the matrix, making quadratic form as the standard, the transition matrix。 For these problems, using the matrix elementary transformation of matrix into a ladder type can make problems after form, thus make the problem simple。 Through to the part of the sample solution, intuitive see matrix elementary transformation in the application of specific issues。

Key Words：Elementary transformation； Rank of matrix； Eigenvalue； Application

目    录

摘  要 1

引言 2

1。矩阵初等变换的方法 3

1。1初等变换的定义 3

1。2初等矩阵 3

1。3矩阵初等变换与初等矩阵的关系 4

2。矩阵初等变换的几种应用 5

2。1求矩阵的秩 5

2。2矩阵的逆 6

2。3判断线性方程组是否有解 8

2。4向量相关性、极大无关组 11

2。5求矩阵的特征值 12

2。6化二次型为标准型 13

2。7求过渡矩阵 15

3。结束语 17

参考文献 18

致谢 19

矩阵初等变换的方法及其应用

    引言

 矩阵初等变换与线性方程组的消元法相似，通过分析消元法，可以看出，它等于反复的对方程组进行变换，其中三种基本的变换即倍法、消法和换法，它们就是初等变换，类似的在矩阵中三种基本变换为矩阵初等变换，在矩阵的广泛应用与发展中，初等变换已经不局限于线性方程组的求解，能够在更多问题里得到应用，它在代数中具有重要作用，对于不同问题，在转化为矩阵后，有着相同求解方法，其中初等变换是常用方法之一，并且应用广泛，在多个领域都发挥重要的作用。

现在国内对于矩阵初等变换应用方面的探讨特别广泛，在二次型和解方程的方面有更多的突破，国外在解决代数问题方面也以矩阵的初等变换为基本条件和首先考虑的方向，目前关于矩阵初等变换的应用有很多，其中在《高等代数（第三版）》以及目前新出版的部分教材和论文中，有涉及到了部分相似的知识点，比如矩阵的秩、二次型、向量相关性等。当遇到难以解决的问题时运用初等变换方法后也许可以变的简单，并且能够更好的分析其性质，这就使很多人想要扩展它的应用领域，以便用简单的方法解决更多的问题。研究矩阵初等变换的应用也就更有意义。