摘  要：本文首先介绍了卡塔兰数的发现过程及相关背景,并且以时间为主线说明了不同时期卡塔兰数的主要发现。然后对卡塔兰数在凸多边形的三角形区域划分问题、应用生成函数和特殊计数序列下的推导过程做了仔细研究。最后通过两个实际案例，描述了卡塔兰数在实际生活和工作中的应用。84018

毕业论文关键词：卡塔兰数；区域划分；生成函数；计数序列

Research of the Catalan Number

Abstract: Firstly, this paper introduces the background and the discovery process of Catalan number and explains in chronological order the main findings of different periods。 Secondly, the article researches in detail the ways to prove the Catalan number adopting the triangle zoning of the convex polygon, the generating functions and the specific counting sequence。 Finally, the applications in real life and work are described through two practical examples。

Key words: Catalan number; Zoning; Generating function; Counting sequence

目    录

摘要 1

引言 2

1。卡塔兰数的发现及相关背景 3

2。卡塔兰数的几种推导方法 4

2。1凸多边形的三角形区域划分问题 4

2。2在生成函数下的推导 9

2。3与卡塔兰数有关的计数序列 12

3。卡塔兰数的实例应用 15

3。1排队问题 15

3。2进出栈问题 15

4。总结 16

参考文献 17

致谢 18

卡塔兰数的研究

引言

卡塔兰数即catalan数，是以比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）的名字来命名的组合数学中一个有着重要意义的计数函数。卡塔兰数是一个由1,1,2,5,14,42,132,429，……组成的数列，它频繁出现在一些计数问题中，在日常生活和工作中的应用也有很多，在解决数据结构中数据的进出栈问题、二叉树问题以及一些日常生活中的排队问题上都有着重要作用。

许多书籍、期刊都对卡塔兰数有过深入的研究。在卡塔兰数的最初发现者这方面的研究，罗见今教授做了细致的研究。他的研究成果得出的结论是清代蒙古族数学家明安图才是世界上最早发现卡塔兰数的数学家。从卡塔兰数的发现开始，关于卡塔兰数的研究就从未间断过。从卡塔兰到欧拉再到中国的明安图，他们都对卡塔兰数做了相关深入研究，在卡塔兰数领域取得了巨大研究成果。由于过去西方科学技术比较发达，在过去中外学者对卡塔兰数的发现者都以为是西方的数学家发现的，直到近些年来通过对中国古代数学史的研究发现，中国的明安图才是卡塔兰数的最早发现者，并将其收录于自己的研究著作《割圆密率捷法》中。由此也掀起了一股对明安图在卡塔兰数方面的研究成果的研究热潮。

本文主要分为三大章。第一章，以时间的先后顺序为主线，通过对卡塔兰数的各个数学家对卡塔兰数所做的相关仔细研究，以此来对卡塔兰数的发现过程做了介绍。第二章，在几个概念的应用下，从凸多边形的三角形区域划分问题、卡塔兰数在生成函数的应用下及在特殊计数序列三个方面，对卡塔兰数在不同数学知识的应用下的推导过程做了详尽的推导、演算。最后第三章，通过对两个与我们切身相关的实际案例的研究，对卡塔兰数在我们实际生活、工作中的应用做了说明。