通过本文对卡塔兰数的研究，把卡塔兰数的基本情况及一些深入研究做了详细说明，使人们不再对卡塔兰数只是模糊的认识，把卡塔兰数以清晰、准确的方式呈现在人们眼前，让人们更加全面地了解卡塔兰数对科学技术和日常生活的作用和贡献。通过实际案例的说明和讲解，以直观的方式介绍了卡塔兰数的实际应用,认识到了卡塔兰数的重要性。更重要的是，通过对卡塔兰数的深入研究可以让我们对一些相关问题的研究有新的思路和更便捷的解决方法。

1。卡塔兰数的发现及相关背景

1838年，比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）发表了一篇关于多因子相乘的学术论文。卡塔兰在这篇论文中提出了一个问题：在个互不相同且有一定顺序的因子中，紧挨的两个因子不断地做相乘的运算，则可以有多少个不同的求积方法？卡塔兰在做了认真的研究后，得出了一个计数公式是：论文网

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其中。该问题被后人称为卡塔兰问题，进而该计数公式得出的数就是现在的卡塔兰数。

随着人们对卡塔兰数越来越多的关注与研究，从大量的历史参考资料中发现其实在1758年-1759年间，著名的数学家欧拉在研究凸多边形的三角形区域划分问题时就已经发现了这个计数函数。欧拉研究的这个问题是：对于一个凸边形，在其内部尽可能多的连接若干条两两之间不相交的对角线，可以把该凸边形划分为多个三角形区域，则这种划分方法有多少种？欧拉通过计算对该问题得出的结论是

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其中。关于该公式的得出，在本文后面章节将会详细给出。 值得一提的是，大数学家欧拉的发现则比卡塔兰的发现早了80年之多。

早年间，西方的科学技术发达。在数学界西方数学占主导地位，许多西方数学家对中国的数学发展史并不太了解，导致中国很多数学发现不被世界知晓。随着近些年来，中国的专家学者对中国一些古文文献和古代数学研究成果的研究发现，中国清代蒙古族的数学家明安图（约1692-1763）在十八世纪三四十年代就已经对卡塔兰数的研究取得了重大成果，是比著名数学家欧拉的发现还要早了一二十年，是卡塔兰数的最初发现者。明安图不仅用卡塔兰数成功处理了幂级数展开问题,同时开创性地对卡塔兰数给出了几何模型。

在明安图二十九岁的时候，正值西方数学知识大量涌入当时封建中国。当时法国人杜德美（1668-1720）为中国人带来了关于无穷级数的几个展开式，这在当时处于封建社会时期的中国，引发了研究热潮。但随着研究的深入，中国的数学家发现，我们只是得到了几个展开式，对其证明和推导却是只知其一不知其二。这一切，年轻的明安图都看在眼中，也记在了心里。他立下决心一定要攻破这一难题。明安图自幼喜好数学，对中国的古代数学史更是深有研究。终于，明安图经过不懈努力，在无穷级数方面的研究取得了巨大成就，就是关于无穷级数的八个展开式，也称之为“八题”。这些研究成果收录于他的遗著《割圆密率捷法》之中。在这篇著作中，明安图首先提出了如今称之的卡塔兰数。明安图的研究成果为世界独创，也奠定了中国数学发展的根基，对后人在数学上的启发有巨大作用。同时也使得世界的目光开始瞩目中国的数学研究成果。由此可见，在时间的先后顺序上，如今的卡塔兰数是明安图最先发现的。文献综述

2。卡塔兰数的几种推导方法

2。1凸多边形的三角形区域划分问题

    关于卡塔兰数的推导，最著名的就是欧拉对凸多边形的三角形区域划分问题的研究了。在研究这个问题之前先来引入相关概念。