1 预备知识

1。1特征函数简介

特征函数是分布函数的傅立叶变换,能够弥补分布函数在处理问题上的不足,为利用、研究带来便利,成为概率论中一项必要的分析工具。用特征函数研究极限定理、求数字特征、表示随机变量分布等问题的强有力工具,因此在解决某些概率问题,将带来许多便利．文献综述

特征函数是一种有界连续函数，与分布律有一一对应关系。所以当求随机变量的特征函数就知其分布律。因此对特征函数及其应用进行深一步探究分析。

1。2特征函数的定义

定义1。2。1  设随机变量的复值函数 

的数学期望为是虚数单位,则称

为的特征函数．

因为,所以总存在。

记离散型的分布列,则

记连续型的密度函数为 ,则

例1。2。1  求的特征函数。

解：因为此分布的密度函数为

所以此分布的特征函数为来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

                     。

1。3特征函数的性质

记表示的特征函数。

（1）。证明： （2） ，其中表示的共轭．           

证明： （3）若 ,其中是常数，则

证明：    （4）设与相互独立，则

证明：因为与相互独立，所以与也是独立的，从而有

（5）若存在，则的可以次求导，且对,有

证明：因为存在，也就是，

所以含参变量的广义积分可以对求导次，于是对有

  令即得    1。4特征函数唯一决定分布函数

定理1。4。1（逆转公式）设和分别为的分布函数和特征函数，对的任意两个连续点，有