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2 正弦波谱估计方法分析
2.1 经典谱估计方法
2.1.1 直接法
直接法又被人们称为周期图法，它把随机信号 的N个观察数据 视为一个能量有限的信号，直接对 进行傅里叶变换，得到 ,然后再取 幅值的平方并除以N，把它作为对 真实功率谱 的估计。以 表示用周期图法估计出的功率谱，那么它和信号 的具体关系为：
(1) 周期图这一概念由Schuster在1899年首先提出。由于它是直接由傅里叶变换得到的，所以人们习惯上称之为直接法。在傅里叶变换计算器（FFT)问世之前，由于该方法的计算量过大而无法得到广泛应用。到了1965年，FFT出现后，大大简化了此方法的计算步骤和计算量，使得傅里叶变换可以直接求出而不是通过其他的算法去实现，此方法由此变成了谱估计中的一个最常用的方法。将ω在单位圆上等间距取值，可得
(2)
因为 可以用FFT进行快速计算，所以 也可以同样方便地求出来。由前面的讨论可知，上述谱估计方法可以分解为以下步骤来实现：
①把平稳随机信号 视为各态遍历的，那么可以用其一个随机样本值 来代替整体的 ,并且仅利用 的N个观察值 来估计 的功率谱 。
②从记录到的一个连续信号 到估计出 的过程，还包括了对 进行离散化处理（A/D)、必要的预处理（如去除均值、去除信号的趋势项、滤波）等。
使用此方法估计出来的频谱性能不是很好，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，容易出现伪峰；N太小时，谱的分辨率又较差，曲线不够尖锐。
2.1.2 间接法
此方法的的理论基础是文纳-辛钦定理。由第一章所介绍的知识可知，1958年Blackman和Tukey给出了这一方法的具体实现，也就是先由随机信号的N个观察数据 估计出它的自相关函数 ，然后再对 求傅里叶变换得到 的功率谱，记为 ，并以此作为对 的估计，即
(3)
由于用这种方法求出来的功率谱是通过自相关函数间接得到的，故称之为间接法，又称为自相关法或BT法。一般的情况下，M的值是比较小的，所以上式的计算量不是很大，可以较为方便的求出，该方法在FFT问世之前（即周期图被广泛应用之前），是最常用的谱估计方法。
2.2 直接法估计的改进
2.2.1 Bartlett法
由2.1.1可知，用直接法进行功率谱估计所得到的结果，其分辨率低而且稳定性差，因此有人在直接法的基础上做出了一定程度上的改进。由概率学理论可知，如果有L个独立随机变量 , ,, ，它们具有相同的均值μ和方差 ,那么通过这L个独立随机变量产生的新随机变量X=（ + ++ ）/L，它的均值也是μ不变，但是它的方差会变成 ，即变成了原来的 。根据这个性质，我们可以得到改善 方差特性的一个有效的方法，即Bartlett法。Bartlett法通过将采样数据 分成L段，每段的长度都是M，即 ,将第i段数据加矩形窗后