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3 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
分组码编码器是把信源输出的信息序列，按k个相继码元分为一组(信息组)，并按一定规则对每一信息组增加n-k个校验元 (监督元)，组成长度为。的n重(Cn-1,C n-2,⋯，CO)。称该n重为码的码字(码组、码矢）。在二进制情况下，长为k的信息组共有2k组，因此通过编码器后，相应的码字也有2k个，称这2k个码字集合为(n,k) 分组码。
定义 3 .1； 个n重向量集合C称为线性分组码，当且仅当它是n文向量空间Vn中的一个k文子空间 。
一个 (n ,k )线性分组码，码元的数域是GF(q),q = p m,p 是域的特征且必为素数。在计算机系统中，信息多以二进制表示，即q=p=2,m=1,( n,k) 码是二进制码。
n重的所有组合共有2n个，而(n,k) 分组码的码字集合只有2k个。所以，分组码的编码问题就是定出一套规则，从2n个n重中选出2k个作为码字。不同的选取规则就组成了不同的(n, k)分组码。称被选取的2k个n重为许用码字，其余的2n-2k个为禁用码字。
线性分组码中的一个重要参数是码率R=k/n，它说明在码字中信息位所占地比重，R越大，信息位占的比重越大，码的传输信息的有效性越高。所以，R表示了分组码传输信息的有效性。通常情况下，R越大，码的冗余度就越小，纠错能力就越差。由此可见，分组码的传输效率和纠错能力是一对矛盾。
为了更好的研究码，给出衡量码优劣的准则，还需了解分组码距离及重量概念。
定义3.2:设 ，且
(3-1)
称向量A, B对应位取值不同的个数为它们之间的Hamming距离，简称距离，记为d(A,B)= 。
Hamming距离是一种距离的度量，满足距离公式:自反性、非负性、对称性、三角不等式。
定义3.3:一个码C的最小距离定义为；
(3-2)
定义 3.4:设向量A=(an-1an-2...a1a0)，A中非零元素的个数叫作向量A的Hamming重量，简称A的重量，记为 。
线性分组码C中不等于0的码字重量最小值叫作码C的最小重量，即；
(3-3)
定理 3 .1 ：线性分组码的最小距离等于它的最小重量。
两个向量之间的距离表示它们之间差别的大小。距离越大，则从一个向量变成另一个向量的可能性越小。在最大似然译码中，所谓一个字“最像”另一个字，即指它们的距离最小。而码的最小距离是衡量码抗干扰能力的重要参数。码的最小距离越大，其抗干扰能力越强。
一个码的最小距离dmin和它的抗干扰能力有如下关系：
定理 3 .2 ：对于任一(n,k) 线性分组码，
(1) 检测1个差错的充要条件是 ；
(2) 纠正t个差错的充要条件是 ；
(3) 纠正t个差错并检测1个差错的充要条件是 ，这里l> t 。
3.2 线性分组码的编码
(n, k ) 线性分组码编码的实质就是要在n文向量空间中找出满足一定规则的、由qk个向量组成的k文向量子空间。或者说在满足给定条件下(如码的最小距离dmin和码率R)，从己知的k个信息元求出r=n-k个校验元，然后将校验元附于信息元之后便得到一个码字。
3.2.1 一致校验矩阵
对任一(n,k) 线性分组码，可得如下的线性方程
简写为 或
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