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(2.1)
式中 为线性算子， 是已知函数， 是要求的未知函数。函数空间 与 ，分别包含了函数 与 。算子 在这起的是一个映射作用，将 空间里面的函数映射到 空间上。在计算未知函数的过程中，由于考虑到其复杂性与未知性，我们首先将该方程离散化，再来求得其数值解。当然，若 为一般的线性函数，我们就没必要这么复杂的求解，只需一个简单的求解就可得出，在这不予讨论。离散时令 在 定义域中展开为 ， ， ....的组合，即
(2.2)
其中， 还是系数， 就是基函数。在分析过程中，要考虑精确解和近似解两种情况。当为精确解时，式（2.2）代表 趋向无穷时的结果。但在实际情况中， 无法取无穷，所以就要考虑近似情况。即当为近似解时，式（2.2）通常是有限项之和。很显然，近似解与精确解之间必定存在差异，这种差异定义为余量，将余量记为 ：
(2.3)
将方程（2.2）代入（2.1）中，再利用算子 的线性性质便可得到：
(2.4)
对于 的求解，我们先定义一个内积， ，接着我们再定义一个检测函数 ，从而使得 （2,3）式取内积时为零，体现在
（2.5）
同理，若 趋于无穷且{ }是一完备集，则此方程与（2. 4）完全等价。但实际上， 是有限的，因此该方程是一个将余量表达式（2. 3）在内积的定义上使其为零的过程。在实际应用中，一般将 称为测试函数
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