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有如下说明：
漏检错误对应于G(x)是E(x)的因子的错误。那么在什么条件下，G(x)是E(x)的因子？
首先我们考虑T 中仅有一个比特位改变这种最简单的情况。此时E(x)仅有xk一项，k为整数，G(x)是xk的因子的唯一途径是：G(x)是x的某次方，所以，只要G(x)至少有两项，这就不可能发生，因此CRC就可以检测出任何单位比特的错误。
其次考虑到一个长度k≤ r =G(x)的次数的突发错误，假设T(x)为 ， 是被损坏的码字最前和最后的比特位，中间的比特位被随意地损坏，也就是说：
现在，选择G(x)，使x不是G(x)的一个因子，因此G(x)和前面部分的 无关，这样如果G(x)是分子的因子，那么它一定是 (xk+…+1)的因子，既然选择了k ≤ r，那么k- 1≤ r，G(x)不可能是一个更低此方多项式的因子，所以得出如下结论：如果x 不是G(x)的因子，那么长度小于等于G(x)次数的突发错误都可以检测出来。再考虑影响奇数个比特位的任意长度的突发错误，因为对每个损坏的比特E(x)都有对应项，所以它包含奇数个项，因此E(1)(奇数个1的异或) 为1。另外，假设x+1是G(x)的因子, 这样就可将G(x)写成G(x)=(x+1)×H(x), 此处H(x)为某个表达式。
假设出现了漏检错误，即意着G(x)是E(x)的一个因子，将G(x)用(x+1)×H(x)替换，结果为E(x)=(x+1)×H(x)×k(x)，若令x=1 计算该方程，则因子x+1 使得E(1)为0，这与前面E(1)=1矛盾。
很明显，两者不可能同时发生，如果坚持x+1 是G(x)的一个因子的假设，那么漏检错误损坏的奇数个比特就不可能成立，换句话说，如果x+1是G(x)的一个因子，那么所有损坏奇数个比特位的突发错误都能检测出来。
最后一种情况是长度>G(x)的次数的突发错误，由前所述。
（4-3）
但是，这里k-1≥ r =G(x)的次数，所以G(x)是(xk-1+…+1)的一个因子是可能的，这种情况的机会有多大？首先考虑k-1=r，因为G(x)的次数也是r，所以G(x)是(xk-1+…+1)的一个因子意着G(x)= (xk-1+…+1)，现在xk-1和1 之间的相对应的比特位确实损坏了，既然有r- 1 项，损坏比特位的可能组合就有2r-1种，若假设所有组合以相同几率出现，那么组合与G(x)项精确匹配的几率为1/2r-1，也就是说错误漏检率为1-2r-1。
总的来说，若G(x)选择得当，CRC 是非常有效的。
5 循环码的编译码原理
5.1 Matlab简介
MATLAB是 MATrix LABoratory的缩写， 是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的程序。
尽管MATLAB主要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱（Toolbox）它也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、金融建模和分析等。另外还有一个配套软件包Simulink，提供了一个可视化开发环境，常用于系统模拟、动态/嵌入式系统开发等方面。
MATLAB的意思是“矩阵实验室”，因此它提供了许多创建矢量，矩阵和多文数组的便捷的方式。在MATLAB自己的语言中，一个矢量（vector）指的是一文（1×N或N×1）矩阵，在其他语言中通常被叫做数组（array）。 矩阵（matrix）通常指的是2-文数组，例如m×n数组其中m和n大于或等于1。多文数组通常指的是文数大于2的数组。
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