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3.4小波包变换
短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等Q滤波器组，语音、图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。当对某类信号，等宽和等Q滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合的滤波器，这就引出了小波包的概念。Coifman及Wickerhauser在多分辨分析的基础上提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。
小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是：
令
(3-33)
定义子空间 是函数 的闭包空间，而 是函数 的闭包空间，并令 满足如下双尺度方程：
(3-34)
(3-35)
式中 即两系数也具有正交关系。其等价表示是：
(3-36)
定义：由式(3-34)、(3-35)构造的序列 称为由基函数 确定的小波包。
空间分解的子空间列可以写成 ， 。若n是一个倍频程细划分的参数，即令 ，则有小波包的简略记号 ，其中 。与小波 相比较可知，小波包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数n，正是由于这个频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n表示 的零交叉个数，也就是其波形的振荡次数。
4 Matlab小波变换与图像处理
4.1 小波变换在图像消噪中的应用
4.1.1 小波图像消噪的基本原理
在传统的基于傅里叶变换的信号消噪处理中,必须使噪声和信号台的频带尽可能地不重叠,而当他们的频域重叠时,这种方法便无能为力了。但对基于离散小波变换的非线性滤波方法来说,谱可以任意重叠,只要谱的幅度不同,这种方法就可以对变换系数进行切削、阈值处理、缩小幅度范围来分离信号各噪声。这是因为小波变换具有一种“集中”的能力,它可以使一个信号的能量集中在小波变换域中少数系数上,这些系数的取值必然大于小波变换域内能量分散的小波系数值,因此可通过阈值处理去除低幅度的噪声和我们所不期望的信号,然后再进行逆离散小波变换就可恢复信号。
常用的图像消噪方法是小波阈值消噪方法，它是一种实现简单而效果较好的消噪方法。阈值消噪方法的思想简单，就是对小波分解后的各层系数数模大小和小于某阈值的系数分别进行处理，然后用处理后的小波系数重构出消噪后的图像。在阈值消噪中，阈值函数体现了对小波分解系数的不同处理策略以及不同估计方法，常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现伪吉布斯效应等视觉失真现象；而软阈值处理相对较平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为此人们有提出了半软阈值函数。
小波阈值消噪方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。如果阈值太小，消噪后的图像仍然存在噪声；相反如果阈值太大，重要图像特征又将被滤掉，引起偏差。从直观上讲，对给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。
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