对于稳定性的研究是自动控制理论中的一个重要问题，自动控制系统要解决的基本问题就是稳定性。稳定性是评判一个自动控制系统的重要性能指标，它指的是系统受到扰动后能返回原来的平衡状态的一种性能。

  本文采用的是Lyapunov直接法来判断系统的稳定性，该方法的主要思路是针对系统的动态方程，寻找一标量函数 ，它具有某些特殊的性质。我们把动态方程x的表达式代入 ，根据 对时间的导数来判断系统的稳定性。 则被称为李亚普诺夫函数。论文网

1.2.4 相关定理及推论

定理1：如果无向图G是连通的，则rank(L)=N-1。所有L的非凡特征值都有正的实数部分。此外，假设G有一个 的强连通分量，那么rank(L)=n-c。

结论1：0为L矩阵的单特征根，且 N×1的列向量为0对应的特征向量。

  结论2：如果图G连通且L阵为对称阵，则L阵所有的特征值非负，可表示为 。

  定理1，结论1，结论2的证明详见参考文献[32,33]

结论1根据邻接矩阵，度矩阵与拉普拉斯矩阵的关系很容易得证，结论2可由Gershgorin定理推导得证。根据上述结论我们可以得到关于连通图的一个性质：L阵具有非负实特征根，且零特征根重数为1。

全局渐进稳定的基本定理：如果函数 ，那么V则是正定（半正定，负定或半负定）的。对于一个动态系统，如果存在函数 为正定，它通过动 

态系统的方程构成的导数 是负定的，那么系统为全局渐近稳定的。

1.3 本章小结

  在本章中，在第一部分我们介绍了一致性问题的研究背景，对于复杂系统一致性的研究现状以及研究意义。在第二部分我们介绍了文章所需的基础知识，其中包括图论，矩阵论，稳定性理论，为后续章节的讨论做了铺垫。

2  无网络环境下连续型复杂系统一致性算法的设计

2.1 固定拓扑下的复杂系统的一致性算法设计

  在固定拓扑结构下，复杂系统的信息通信的关系式固定不变的，在这时算法设计的主要问题是通信系数的选取和系数之间的关系，其相关性是算法的核心内容。首先，我们来考虑没有网络环境下算法的设计。

2.1.1 常规一致性算法的问题描述

  规定复杂系统包含N个多智体，其中第i个多智体满足方程：               

其中 代表第i个多智体的位置， 代表第i个多智体的速度， 代表第i个多智体的加速度， 为了便于分析，假设该状态为一维，当其状态为多维情况时，也可采用克罗耐克乘积进行拓展分析。设与第i个智能体拓扑相邻的所有智能体组成的这个智能体的邻居集为 。因为本文中控制律采用的是分布式算法，所以智能体i状态的调整要依赖于其周边邻近且有信息交换的智能体。

  根据图论和矩阵论的相关知识，我们设 为拓扑抽象出来的无向连通图其中V是顶点集，E是边集，A是邻接矩阵。邻接矩阵中元素的取值范围定义如下：假如 且边 ，则 ；否则取值为零。根据先前准备的知识有L=D-A，定义度矩阵D和拉普拉斯矩阵L。

2.1.2 控制算法的给出

  在研究一致性问题的时候，我们要考虑所设计出的控制算法是否能够收敛。在确保算法有效性的情况下我们还应该考虑控制算法如果收敛其收敛值为多少。也就是说我们应该清楚这种算法的一致性平衡状态是什么。本文下面提出的算法是平均一致性收敛的算法。

  根据现实情况来分析，复杂系统的一致性要求系统内的智能体的最终收敛状态都能够趋于一致。所以理所当然要求智能体与其邻近集里的智能体最终状态趋于一致。为了达到这个目的我们运用合理的分布式算法控制从实际的有通信来往的邻近智能体着手，设 代表邻近集里的某一个智能体的状态变量,以邻近智能体状态和自身状态的偏差作为控制输入，得到第i个智能体的控制律如下：