3 小波变换

    小波变换作为一种时频局部化方法，其窗口时可变的，即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，具有对信号的自适应性，因而被广泛应用于信号分析。由于小波分析具有局部分析和细化的功能，所以小波分析能揭示信号的间断点，趋势和自相似性等性质[15]。并且与传统的信号分析技术相比，小波分析还能在没有明显损失的情况下，对信号进行去噪和压缩。

3。1小波变换理论

小波变换就是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的，它是一种信号的时间---尺度（时间---频率）分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特性的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。因此，本章节会先对傅里叶变换理论有一个简单的介绍，然后会对小波变换有一个深度的分析。

3。1。1 傅里叶变换理论

傅里叶变换可以看做是傅里叶级数的连续形式。傅里叶级数把定义在上的信号分解为频率为整数倍关系的谐波分量组合。相应地，傅里叶逆变换将一个无限时宽的信号分解为频率为的一系列频率分量，其中可以使任意实数（甚至是复数）。

（1）傅里叶级数定义

周期函数f(t)可由三角函数的线性组来表示，若f(t)的周期为，角频率为，频率，傅里叶级数展开表达式为：

           (3。1)

上式中n为正整数，各次谐波成分的幅度值为：

直流分量：          (3。2)

余弦分量幅度：             (3。3)

正弦分量幅度：   (3。4)

其中n=1,2,…。

（2）傅里叶变换

函数的连续傅里叶变换定义为：

 的傅里叶逆变换定义是：

若f(t)是实轴上以为周期的函数，即，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即

傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上来说，傅里叶变换的实质是把波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。

3。1。2 小波变换理论

原则上来说，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时频和域频同时具有良好的局部化性质。

连续小波变换的定义

对于,f(t)的连续小波变换定义为：

或用内积形式：

公式中，a为变换尺度，为时间延迟。

（1）连续小波变换的性质

①线性：设，则。

②时移不变性：若f(t)的连续小波变换为，则的连续小波变换为。

③尺度转换：若f(t)的连续小波变换为，则的连续小波变换为。来~自,优^尔-论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

④冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余性。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的基函数存在血多可能的选择。

 （2）小波变换的特点

①有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及细的逐步观察信号。

②可以看成有基本频率特性的带通滤波器在不同尺度下对信号作滤波。由于傅里叶变换的尺度特性可以知道这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽恒定的特点。a越大相当于频率越低。

③适当选择基小波，使在时域上为有限支撑，频域上比较集中就可以使小波在时/频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态和奇异点。