2。2低秩分解方法的提出背景以及理论基础

众所周知，大小为m*n的矩阵，如果其秩很低（即秩r远小于m,n），则它可以拆成一个m*r矩阵和一个r*n矩阵的积（类似于SVD分解）。这样一来，所需要的内存存储空间将会从原来的m*n变为（m+n）*r，从而达到降低内存的效果。在电磁计算中，如果符合远场矩阵的低秩特性，那么完全可以通过将矩阵分解成许多维数更小的矩阵的乘积，通过这样的方式，达到对矩阵加速分解，快速运算的目的。矩阵低秩分解对于提高电磁计算速度，减少所需内存有着非比寻常的意义，另外，分解式本身可以反映出原矩阵的某些特征，其分解的过程和方法，也可以借鉴到其他数学分析和计算领域，可以说矩阵分解对矩阵有关的电磁数值计算和理论都有着极大的意义，甚至对于近现代数学也有非比寻常的意义。另一方面，低秩分解方法并不受格林函数展开形式的局限，可以方便结合任意的矩量法程序，近年来，世界范围内诸多研究人员，对于基于表面积分方程求解电磁场分布，电磁散射与辐射的低秩分解技术展开了广泛而深入的研究。

在对于矩阵众多的低秩分解压缩方案中，一种基于SVD分解的IESL快速方法已经成功地应用于各种准静态分析多层集成元件的电磁等效模型，该方法由Kapur和Long等提出，是一种独立于格林函数的快速求解技术。为了进一步提高压缩效率，基于QR分解的快速方法也被成功的应用于分析电磁散射及天线辐射问题，它主要是利用Schmidt正交化，对矩阵进行低秩分解。类似的方法还有基于UV分解方法，以及本文将重点研究的 ACA低秩分解技术（自适应交叉近似算法），其中，UV方法需要事先将矩阵的秩表判断完毕，然后才能对矩阵进行分解操作。而ACA算法并不需要预先对矩阵进行任何附加操作，而是直接利用抽行抽列的方法，对矩阵进行加速填充。另一种比较高效的低秩分解方法是多层矩阵分解算法，以及基于此类低秩分解技术提出的各种再压缩技术，目的在于进一步降低所需的内存内存空间，减小计算复杂程度。本文着重做对与ACA方法的深入研究，其余方法仅做简单介绍，原理不多赘述。

2。3几种典型的低秩分解方法介绍

2。3。1矩量法基本原理

矩量法（Mom），顾名思义，在求解时涉及计算广义矩阵。通常情况下，矩量法是将电磁问题的算子方程转化成矩阵运算方程，然后对矩阵方程进行求解，对于电磁散射或雷达天线的辐射问题，积分方程都可以用下面的算子方程来描述来`自+优-尔^论:文,网www。youerw。com +QQ752018766-

其中为线|性算|子，是未知|函数，是已知|函|数如激|励函|数，算子的值|域为算|子在其|定义域|上运|算而得的|函|数的集合。算|子|方程|的通常|求解|方法是|将在|的定义域|内展开成的线性|组合|表示成

其中，为展开系数，为一组线性无关的基函数。为未知量的个数。如果，则方程的解是精确解。然而通常在实际计算中，是有限大的，此时方程(2)的右边项是待求函数的近似解。将式(2)代入式(1)，再由算子的线性性质，可以得到

为了求解方程(3)中未知函数的系数，需要选取一组测试基函数，每个测试基函数都与式(3)做内积，可以得到如下的一个方程组