4 。 3 仿 真 实 验 2 7

结论 32

致谢 33

参考文献 34

1 引言

1。1 分数阶傅里叶变换简介

傅里叶变换把原来是独立的时域和频域结合起来，从而可以显示整个时间段内所有的全部 频率成分，因此可以广泛应用于确定性信号和平稳信号。而自然界实际存在的许多都是非平 稳的信号，所以相关学者就提出了一些新的时频分析的理论和方法，而分数阶傅里叶变换就 是新方法中的一种。论文网

FRFT 是一种线性算子。在时间频率的平面上若把 Fourier 变换看成是从时间轴上逆时针旋 转 90 度到频率轴的一种变换的话，那么 FRFT 算子可以看作是旋转任意角度的算子，因此我 们可以认为 FRFT 是一种广义上的 Fourier 变换，如图 1。1 所示。

因为光学设备在实现 FRFT 上相对而言更为简单，所以这种变换方法最早开始是在光信号 处理当中得到的使用。随着之后 FRFT 离散化方法的出现，并且完成了快速计算，这种变换 方法开始在电信号中得到广泛使用。由于 FRFT 基本理论得到深入发展，因此这种方法已经 广泛应用到了雷达、声纳、通信等各个领域。

1。2 分数阶傅里叶变换的提出与发展

其实 FRFT 的概念在很早以前就已经出现了，然而直到最近一些时间它的重要性和实用性 才在信号处理界的得到广泛的关注。最早提出和研究 FRFT 的人是 Wiener。所有人都知道， 傅里叶变换的特征函数就是 Hermite 函数，再乘上 expt 2 ，其相对应的特征值就是j m 。

从 1929 年开始，Wiener 开始研究这种符合要求的的变换核，其相对应的特征函数具有比传统 Fourier 变换更加完备的特征值形式。Wiener 最后把这个特征值改为 expjma ，这就是我们 大家所了解的与分数阶傅里叶变换研究有直接关联的最早的研究。Wiener 的工作为量子力学 当中的和群论与算符代数相关联的研究工作给出了基本概念。后来，Condon 也开始一个人从 事研究 FRFT 的定义工作。虽然 Condon 没有用到 FRFT 这一个专业术语，而且没有研究它的 基本性质。然而他却很可能就是第一个研究 FRFT 定义的。Bargmann 在 Condon 所提出的 FRFT 定义的基础之上，在一个更加广大的研究背景之下，开始更加深入地研究 FRFT 的基本定义。

虽然它的概念理论在很早的时候就被提出来了，然而直到 1980 年，Namias 提出了他的理 论，这才让人们发现了其潜在的巨大研究意义。非常明显的，Namias 是在不知之前的研究工 作的条件下，从特征值与特征函数的认知角度，用纯数学的方式再一次提出了 FRFT 的概念， 并把其概念用在了解偏微分方程上。Namias 将 FRFT 重新定义成传统 Fourier 变换的分数幂形 式，从而进一步发现了 FRFT 的几个重要性质，就是 FRFT 的高阶微分形式和它与一些微分 方程之间存在的一些关系。他的不够完善的地方就是没能够发现这种时间频率表示之间的变 换关系。在随后的一段时间里，McBride 和 Kerr 分别继续 Namias 的研究工作，他们俩采用 了积分的形式为 FRFT 做了更加合理严密的数学定义，为后来的科研工作人士从光学的角度 提出 FRFT 的概念奠定了一定的基础。

1992 年之后，Mendlovic 跟 Ozaktas 再一次开始了对 FRFT 的进一步研究探索。而后来 Lohamann 也开始从事相关研究，他利用 Wigncr 分布定义了新的 FRFT 概念而且用信号的表 示轴在时频面的旋转来解释 FRFT 的物理意义。Mendlovic、Ozaktas 和 Lohamann 最后都证明 了他们的定义和早期的定义虽然有所不同，然而却都是等价的。除此之外，他们的研究内容 还包含光学上的应用，软件仿真算法，在 FRFT 的滤波等。从这以后，FRFT 的研究与使用方 才得到了各国相关研究者的重视。文献综述