ANSYS弹塑性梁受冲击时的动力特性研究(4)
动力分析的基本方程是指以速度、加速度和位移为基本未知函数，通过动态本构关系和几何方程，建立以位移等量来表示的运动方程。在不同的力学状态下，弹塑性梁在动力作用下的本构关系也随之变化，动力分析的基本方程也就不同。结构的运动在一般情形下按先后顺序可分为三个阶段：
(1) 初始弹性阶段。
(2) 应力加载过程，也就是塑性变形发展阶段
(3) 应力卸载过程，也就是相继弹性阶段
梁各个阶段的运动按照先手顺序叫做第一相、第二相、第三相……要想得到梁的运动规律，就只有对梁的各个相的运动进行分析。弹塑性梁的第一相运动一般都是初始弹性的，所以第一阶段也叫做弹性相。下面将分析第一相运动的基本方程求解的基本方法。
梁在第一相的运动方程为
(1-1)
式中， 为梁的挠度，
令 ,得到梁自由振动的微分方程
（1-2）
用分离变量法，令 表示坐标 的函数， 表示时间的函数，得
（1-3）
将式（1-3）代入式（1-2），得到
（1-4）
其中， 表示待定的常数
所以可以得到关于 的微分方程为
（1-5）
其中 表示梁跨长度
（1-6）
式（1-5）的解为
（1-7）
得到关于 的微分方程为
（1-8）
解为
（1-9）
式（1-9）表示梁的挠度随时间的变化，式（1-7）表示的是梁自由振动的振型，它是关于 、 、 、 四个代数的齐次方程式，可以根据梁的边界条件求出。要使 、 、 、 有非零解，只有让 取特殊的数值，也就可以由此确定特征值 和系数的比，因此就确定了梁