第4。2节 石墨烯在外加磁场时的朗道能级 23

第4。3节 第二类Weyl半金属在外加磁场时的朗道能级 25

第五章 电场中第二类Weyl半金属的郎道能级 32

第六章 总结 34

致    谢 35

参考文献 36

第一章 霍尔效应

本章将简要地介绍磁场引起的霍尔效应以及量子霍尔效应。

第1。1节 霍尔效应

19世纪80年代，美国物理学家A。H。Hall在研究金属的导电机制时发现了霍尔效应。之所以电子会发生偏转，是因为电流沿着垂直于外磁场方向通过。我们假设电流 的方向是沿着 方向，即电流密度 ，也就是 ，磁场 沿着 方向，则电子将受到洛伦兹力 ，其方向沿着 方向。因此，偏转的电子会在材料 方向的两端积累电荷，从而产生了附加电场 ，其方向沿着 方向。我们把这一现象叫做霍尔效应。平衡状态下，产生的附加电场在电子上的库仑力 和洛伦兹力 抵消，即 。因此可得

（1）

其中 为霍尔电场，对应的电压为霍尔电压 ，相应的霍尔电阻率为 。由上述关系，我们可以求得电流密度 。

第1。2节 量子霍尔效应

当外磁场足够强，温度足够低时，导体中间的电子会在原地打转，而边界上则会形成不易被外界干扰的半圆形跳跃的单向导电通道，即量子霍尔效应。量子霍尔效应包括整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应[ ]。From~优E尔L论E文W网wWw.YoUeRw.com 加QQ7520.18766

在实验上，我们通常用门电压 来调节二维电子气的电荷密度 ，可以通过测量电流强度 和霍尔电压 来确定霍尔电阻 。在室温或者低磁场时，通过实验，我们可以发现霍尔电阻 随 变化的关系符合由 决定的，其与 成反比的连续性规律。

但在1980年，德国物理学家冯·克利青等在极低温1。5K和强磁场18T下[ ]，发现了在二维体系的霍尔效应实验中, 存在一个与经典霍尔效应完全不同的现象。霍尔电阻 随 变化的关系出现了阶梯特征，并且阶梯的平台非常平整，平台的位置可以用

                 （2）

来确定，其中 。由公式（2）可得霍尔电阻与样品的材料性质无关。因此，这一现象被我们叫做整数量子霍尔效应。

接着，我们从自由电子在磁场下朗道能级的形成来理解整数量子霍尔效应。

二维电子气电子波函数 由定态薛定谔方程描述：

（3）

其Hamiltonian为

（4）

其中矢势 满足 。

在z轴方向上加磁场 ,即 。由于磁场在z方向， 只有x、y分量，即 ， 。

根据 ， 。因此，我们可以得到下列关系式:

                （5）

根据上述关系，我们可取矢势 。 在磁规范条件下， 方向具有平移不变性，可令 。

在磁场 作用下，我们用最小耦合的方式引进正则动量，将动量转换为正则动量 ，这个变换符合U(1)的变换，即 。

在本文中，由于在z轴方向上加磁场 ，即我们取 。

由于 ， ，可得

 ，其中回旋长度 。

在磁场 的影响下，Hamiltonian也将发生改变， ，即 ，其中 。同时，波矢 也将发生变换， 。

接着，我们定义如下的产生算符和湮灭算符