（6）

      （7）

其中 。

所以我们可以将产生算符和湮灭算符带入Hamiltonian中，

            （8）

其中回旋频率 。

参照谐振子的求法，我们假设 是 的本征态，且 不为零，又根据 ，我们可以得到湮灭算符 和Hamiltonian的对易关系：

（9）

产生算符 和Hamiltonian的对易关系：

（10）

因此，我们可以验证 也是 的本征态，证明如下：

同理， 也是 的本征态，证明如下：

又因为 （13）

即对于这个Hamiltonian，我们也可求得可得 是 的本征态，也就是简谐振子的第 个能量本征态，其对应的本征值为 ，其中 。

虽然朗道能级的形成部分打破了原来自由电子气的近简并性（即形成了等间隔的分立能级），对于固定能级 ，不同的量子数 对应不同能量本征态，却给出相同能量本征值，故每个朗道能级本身还有简并的。 的数值由周期性边界条件确定（ 为体系在 方向的尺度）： ，由此： ，其中 。

没有外磁场时， 可以足够大（ 本身没有上限）。

有外磁场时，沿 方向的运动受到限制，电子运动的波包中心将移动到 。设体系在 方向的尺度为 ，由此限制了 的上限为 ，相应的简并度即为整数 的上限：

因此，单位面积中每个朗道能级的简并度为 。论文网

如果某一个能级被填满，则对电流密度的贡献为

对霍尔电导率的贡献为

如果有 个朗道能级被填满，则

即得霍尔电阻率（18）

当系统在强磁场下形成一系列分离的量子化的朗道能级后，相应地系统就会出现一系列的霍尔平台[ ]。

之后，在1982年，崔琦、Stormer 和A。 C。 Gossard在温度为0。1K和磁场为20T的条件下，观测到霍尔电阻 随 变化的关系出现了更精细的阶梯特征，平台的位置可以用 （19）

来确定，其中 ， 是各种被相继发现的分数值。因此，我们把这一现象叫做分数量子霍尔效应。其与样品的基质材料性质和能带结构无关。

第1。3节 磁电效应

我们知道磁电效应包括电流磁效应和狭义的磁电效应[ ]。在一个外加磁场的作用下，磁场作用会引起物质电阻率的变化。如果该物质是非铁磁性物质，那么外加的磁场通常会使电阻率增加，从而导致正的磁阻效应的产生。在低温和强磁场条件下，这一效应显著。

第二章 Weyl半金属的发展

本章将简要地介绍Dirac半金属、Weyl半金属以及Weyl半金属的发展。

第2。1节 Dirac金属文献综述

1928 年，Dirac 引入下面的描写自由电子的相对论波动方程[ ]：

其中 ， 为Pauli矩阵； ，  是 单位矩阵。我们可以很容易地发现，其波函数是4分量的，与薛定谔方程是有区别的[ ]。

因此，我们现在所说的Dirac材料体系就是可以用Dirac方程描写低能激发的材料[ ]体系[ - ]。目前有多个Dirac材料体系已经被人们发现了，如：石墨烯[ ]、单层氮化硼[ ]、高温铜氧化物d 波超导体 [7]、拓扑绝缘体[ - ]等。

2。1。1 石墨烯

在2004 年，由碳原子以 杂化连接的单原子层构成的新型二维原子晶体—石墨烯首次被英国科学家制备出[ ]。石墨烯是由一层以六角形蜂巢结构周期性紧密堆积的碳原子构成的一种二维碳材料[6]。 ， 是其每个元胞的晶格矢量，其中最近邻碳原子的距离可用 来表示。 被用来表示碳原子的外层电子构型。石墨烯中3个近邻的碳原子上的电子与3个价电子形成的 杂化形成 键，远离费米能级。而它的 电子与3个近邻碳原子上的 电子组成 键。 键电子在费米能级附近，所以在石墨烯中的低能激发可以用 电子来描写。电子可以跳到最邻近原子中，如果仅仅只是考虑最接近电子之间的相互作用，那么这时候的系统Hamiltonian就会有如下形式