2007年，由Sedghi, Rao和Shobe[9]引入了 -度量空间的概念以及证明了一些基本性质。 2012年，Sedghi, Shobe和Aliouche[10]提出了新的 -度量空间的概念， -度量空间是对 -度量空间和 -度量空间概念的推广，并且在 -度量空间中证明了有关不动点定理。 Nguyen和Hieu[11]，Kim和Sedghi[12]，Raj和Hooda[13]，Hieu，Thanh Ly和Dung[14]以及Chouhan和Malviya[15]在 -度量空间中进一步深入研究了各类映射不动点和公共不动点的存在性和唯一性问题，得到了许多重要有意义的新结果。

近年来，人们在 -度量空间、 -度量空间以及 -度量空间中的不动点理论研究取得了许多有价值的研究成果，但是仍然有许多问题需要讨论。 例如，相比于一般度量空间，在这些空间中研究的收缩映射类型比较少等。 并且由于这些空间中不动点问题的研究往往要依赖于空间的完备性以及映像的连续性，这在一定程度上加大了研究这类空间中不动点问题的难度。 因此，放宽对空间的完备性和映像的连续性要求变得很有必要。 同时，这几类空间中的不动点理仍需补充、发展和完善，应用方面的研究也十分有意义。 

终上所述，我们的选题是具有重要理论意义和应用价值研究课题，还有许多问题需要深入研究。

本文的主要目的，是把前人在 -度量空间中的某些结果推广至更一般的 -度量空间中。 由于每个对称 -度量空间一定是 -度量空间，而每个 -度量空间也一定是 -度量空间，但反之不成立(反例可见例2。3和例2。5)。 所以,我们的结果本质地改进和拓广了 -度量空间中的相应结果。

第二章 一些基本概念和基本结果

第1节 一些基本概念和性质

下面给出的 度量空间的概念和例子出自文献[4]。

定义2。1 设 是一非空集合，令 为一三元函数，且满足以下条件：

( )   ;

 ( )  ;

 ( )  ;

( )  (三个变量的对称性);

( )  （矩形不等式）

则映射 称为 上的一个广义度量，或称 是 上的一个 度量，并称 是一个 度量空间。

称 度量空间称 是对称的，如果 。

例2。1 设 定义

 ,

 ,

其中 是置换函数。 则易知 是 上的一个 -度量。 但是因为 ，所以 是 上的一个非对称 -度量。 

注2。1  度量可以导出新的度量 ,对于任意的非空集合 都成立，如下：来自优Y尔L论W文Q网wWw.YouERw.com 加QQ7520~18766

使得 是通常的度量空间。

下面给出 -度量空间的概念和几个 -度量空间的实际例子，并指出了对称 -度量与 -度量之间的关系。

定义2。2 设 是一个非空集， 是一个满足下面条件的三元函数：

（ ） ；

（ ） （对称性），其中 是置换函数；

（ ） 。

则函数 称为 上的一个 -度量，称 为 -度量空间。

 例2。2  -度量空间的几个例子：

    (1) 设 ， 是 上的范数，则

是 上的一个 -度量。

    (2) 设 是一非空集， 是 上的一个通常的度量，则

是 上的一个 -度量。

    (3) 设 是一非空集， 是 上的一个通常的度量，则

是 上的一个 -度量。

注 2。2 每个对称 -度量一定是 -度量，反之不真，反例如下：

    例 2。3 设 ，定义

则 是 上的一个 -度量。 但它不是 上的一个 -度量，因为对于 ，有 ，所以定义2。1中的条件( ) 不成立。 

下面给出 -度量空间的概念和几个 -度量空间的实际例子，并给出了 -度量、 -度量与 -度量之间的关系，这些都可以在文献[10]和[11]中找到。