三质点非对心冲击的理论研究(2)
在理论力学的教材中，我们可以通过动量守恒和能量守恒的原理来描述两质点的弹性碰撞。在碰撞过程中，考虑质点强相互作用所导致的能量损失，引入碰撞恢复系数来反映碰撞过程中的不连续性问题。但是当处理多质点碰撞问题时，常常会因为变量之间的耦合而缺少足够的动力学方程。在简单的三质点弹性对心碰撞中会遇到刚体动力学模型无法克服的困难，更接近真实情况的三质点非对心碰撞就更加难以分析。
两个球的碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。在顺次碰撞模型中，三质点非对心碰撞有两个以上过程。
在斜碰撞的研究中，学者们多年以来致力于摩擦状态转换的研究。Whittaker[2]通过库伦摩擦理论，建立了法向冲量和切向冲量之间的联系，他假定了切向摩擦的状态只有粘滞状态或单向滑动状态，但这种假定与实际情况并不相符，而且在某些情况下甚至会差生整体系统机械能增加的状态，即“Kane动力学之谜”，这明显与能量守恒定律相悖。W.J.Stronge,James[1]等在研究带摩擦的斜碰撞时，通过法向与切向之间的柔度关系建立了包含滑动-粘滞切换的碰撞动力学模型。Yang[3]等充分分析了接触碰撞物体粘滞、单向滑动、反向滑动等多个运动状态之间的转换。Kraus[4]在法向弹簧阻尼模型的基础上把弹簧阻尼模型拓展到切向，使得切向摩擦问题转变为连续、非突变、非奇异的切向弹簧阻尼模型，以便于更有效地确认摩擦所造成的状态（粘滞或滑动）。
由于摩擦的影响，刚性体碰撞的分析是复杂的，因为在接触点处，摩擦力不可能在碰撞过程中是连续的或单向的。微小的初始滑动就可以带来摩擦，使得碰撞体在分离前趋向静止，然后无论是在一个新的方向上继续滑动，或者是摩擦足够大能够阻碍碰撞体之间相对滑动，即两者之间相互接触粘滞。如果采用库仑摩擦定律，可以给出一个摩擦力与滑动速度之间的函数，从开始滑动到静止，这个过程是不连续的。
现在许多学者的分析一般是建立在两个基础假设之上的：（1）物体是刚性的（2）物体的接触区域趋向于无穷小。这些假设要求物体刚度很大，并且是非细长的，从而使得物体的接触面积很小，由于弹性振动造成的的能量损失也很小。物体的“刚性”也就意着虽然具体包括着在接触点处的法向柔度无限小的情况，但这里所有的变形可以忽略不计。无穷小的接触时间的结果是惯性系数为常数，碰撞时的接触力相比于物体本身的质量来说很大。
在国内，学者刘才山[6]在建立切向接触碰撞模型时，采用线性接触碰撞刚度，以研究碰撞物体的切向速度与运动状态转换的关系，并且他同学者马炜在线弹性接触模型的基础上，通过将三质点系统的动力学方程描述为在Hamilton空间上的变结构系统，得到了基于分段函数表示的各个质点发生碰撞后的理论分析解.在该理论解的基础上，作者详细讨论了适用于刚体动力学模型递次碰撞假设和瞬时碰撞假设的参数条件。姚文莉[7]基于能量恢复系数及Hertz理论，建立平面多体系统的含摩擦接触碰撞模型，给出了物体运动状态的判别条件。其运动状态模式分为5种模式:（1）单向连续滑动；（2）在压缩阶段，由滑动状态转为粘滞状态；（3）在压缩阶段，反向滑动状态装换；（4）在恢复阶段，由滑动状态转为粘滞状态；（5）恢复时，反向滑动状态装换。这一理论被国内外很多学者所采纳使用。沈凌杰[8]对柔性梁的点-面斜碰撞问题进行了研究，通过Hertz接触碰撞模型得到法向接触碰撞力，并结合库伦摩擦力模型解决滑动或粘滞状态的切向摩擦力问题。在此基础上数值仿真并与实验值对比，验证了在斜碰撞的过程中，赫兹模型和库伦模型的有效性及摩擦切换(滑动一粘滞)准则的正确性。