激光在人类牙齿中激发超声的数值模拟(8)
2.3.2 热传导的有限元法分析
当脉冲激光辐射的能量低于样品的熔融阈值时，其能量的一部分被样品反射，一部分被样品浅表层吸收。由于样品吸收激光能量产生局部热弹性膨胀。从而产生瞬态位移场位移满足方程：
（2.3.1）
且满足边界条件： （2.3.2）
及初始条件 ： （2.3.3）
热传导的有限元形式：
式中： 为热容量矩阵， 为热传导矩阵， 为热源矢量， 为热源矢量 是温度， 是温度随时间的变化率。对波的传播，忽略阻尼，有限元控制方程可表示为：
（2.3.5）
[M]是质量矩阵，[K]是刚度矩阵，{U}是位移矢量， 是加速度矢量 是外力矢量。对热弹性体而言，在柱坐标系中外力矢量表示为 ， 是热应变矢量， 是形函数导数的转置矩阵， 材料特性矩阵。为了求解方程(2.3.3)和(2.3.4)，利用Newmark时间积分法，注意到方程(2.3.3)和(2.3.4)是建立在时刻为t的一个平衡方程，要得到位移的时间历史曲线，必须要将方程(2.3.3)和（2.3.4）对时间进行积分。假设时间步长为 ，根据（2.3.4）和（2.3.5），位移和它的一次倒数可分别表示为：
和 是决定积分稳定性和精度的参数。把（2.3.6）代入平衡方程（2.3.5）可以得到下列代数方程组：
式中各参数可表示为： （2.3.8）
这样，通过不断积分可以产生整个时间历史曲线。
2.3.3 计算模型及理论
人牙牙冠部分的构成主要由珐琅质、象牙质和牙髓组成，牙冠的最外层就是主要由钙质和磷组成的人体中最坚硬的组织—珐琅质。珐琅质层的厚度并不是均匀的，牙颈部的珐琅质薄；象牙质被包裹在珐琅质下，其内部含有许多象牙质管；牙髓是由神经、血管和淋巴管组成。不同的牙齿形状各异，门牙的轮廓最为平坦，并且由于牙冠尺寸较小，激光超声波的激发和探测距离也小，一般在5mm以内，因此，可以不考虑牙齿的外貌特征即牙齿的弧度对声波传播的影响。对于门牙，可以看成是由珐琅质、象牙质和牙髓组成的均匀的层状结构，如图1所示，由于牙髓本身的构造特点，牙髓层可认为是空的。激光辐照在牙齿表面的示意图如图1所示，典型的珐琅质和象牙质的厚度均约为1mm。
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