光子自由程空间球坐标系模型及应用(5)
3.1 空间坐标系
空间坐标系是物理学中一个重要的概念，是研究描述物体运动的基础。物体运动总是在空间与时间中发生，而空间与时间则是物质运动广延性与持续性的反应。空间规定了物体运动的位置和范围，时间则反映了运动过程的长短和顺序。在牛顿力学中，空间与时间是独立的，并且它们各自脱离物质与运动而存在：空间是延伸到整个宇宙的容纳物质的三文均匀平直框架，时间则始终均匀地流逝，这就是所谓的绝对时空[20]。在描述物体运动的时候我们还需要选择一个参考系：即与参考物固连的三文空间，也就是参考空间，此外还有与此参考空间固连的时钟，它们共同组成参考系。而在参考空间中我们需要描述物体的位置，这时候就需要建立一个坐标系。所谓坐标系就是固定在参考空间的一组坐标轴和用来规定一组坐标的方法，由此可以决定物体在此坐标系的位置。常用的空间坐标系有笛卡尔坐标系，即直角坐标系，其相应的坐标参数为(x,y,z)；柱坐标系，相应坐标参数为(r,θ,z)；球坐标系，相应坐标参数为(r,θ,φ)。物体的运动与参考系的选择和其本身有关，而与坐标系的选取没有关系，不同的坐标系只是描述物体运动的变量不同而已，对应的物体的运动状态并无不同，而不同惯性参考系中描述物体的运动服从伽利略变换关系式。
下面从数学的角度来考查一下最常用的直角坐标系的性质[21]。
在n文线性空间V中，一个n文向量α可以用n个线性无关的向量α1，α2，…， αn 的组合来表示：
(1)
则α1，α2，… ，αn 为线性空间V的一组基，(x1 , x2 , … , xn)T 则是α在基α1，α2，… ，αn 下的坐标。为了方便使用，我们通常会选取一组特殊的基e1, e2, … , en, 其特性是：
(2)
也就是说e1, e2, … , en 为一组正交的单位基。因此对应于物理的三文空间就可以采用三文线性空间的方法来表示，选取e1, e2, e3 为基向量，它们所在的方向即对应坐标x, y, z 轴，三个轴线之间相互正交，并相交于原点O，因此从原点出发到物体P1的空间向量β1可以表示为β1 = x1e1 + y1e2 + z1e3 ，即P1在直角坐标系的坐标为(x1 , y1 , z1)。同理物体P2的坐标可以表示为(x2 , y2 , z2)，那么由线性空间的性质可以得出物体P1 、P2 之间的距离为：
(3)
由此可以建立空间直角坐标系，在这个坐标系中每个实物元点的坐标可以通过(x,y,z)来表示。但是值得我们注意的是物理学中的坐标系与数学的坐标系存在的不同，物理学中的空间坐标系的三个轴不是代表纯粹的‘数’，而是有度量单位，代表的是物理量：长度，而长度这个度量单位是由人来定义的，并通过测量赋予了坐标系中实物元之间的关系；数学中的坐标系则是一种逻辑形式，没有具体的物理意义。所以公式(3)是不能够用来描述物理中的距离的，它还缺少单位，长度单位即空间尺度因子可以令为R,而在牛顿的绝对时空中，空间是绝对不变独立于物体运动的，因此所用的度量尺度最方便的就是固定尺度R0 ,则物理距离r可以表示为坐标与单位的乘积，即：
(4)
空间直角坐标系在低速局域的情况下被证明是用来描述物理空间中实物元之间的关系的最方便的形式，这是与在低速局域的情况下牛顿力学是相对论的有效近似是分不开的，绝对空间的均匀平直性保证了空间直角坐标系是最简单的描述方式。
前面说过物体的运动与参考系的选择和其本身有关，而与坐标系的选取没有关系，在有些情况下采取球坐标比直角坐标更加方便简单，比如点电荷的电场在空间中的分布，在无限远处可将恒星的光辐射看做点源辐射等等，可见球坐标系在物理学中也有很多的应用。不同的坐标系可以描述同一个物理现象，它们之间可以用坐标变换来联系。下面来讨论一下直角坐标与球坐标之间的变换。
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