Matlab双圆孔衍射仿真研究(菲涅尔和夫琅禾费衍射)(4)
2.2.3惠更斯-菲涅耳原理的数学表示
图2.5 波阵面示意图 图2.6 孔径面的法线与l和r的夹角
如图5 ,设Σ为衍射孔,d s 为Σ面的一个面积元, P 为前方一点,引起的振动振幅与面积元d s 成正比.根据惠更斯- 菲涅尔原理, P 点的振动等于Σ面的所有面积元所引起的振动的叠加,所以P 点的合振动等于整个Σ 面的积分 :
U(P)= (2.2)
式中, ( ) 是Σ面上的光场分布, k (φ) 为φ的一个函数,称为倾斜因子,ω为光波的圆频率,λ为波长.
2.3 菲涅尔-基尔霍夫衍射
利用公式（2.2）对一些简单形状孔径的衍射现象进行计算时，虽然计算出的衍射光强分布与实际的结果符合的很好，但是菲涅尔理论本身是不严格的。基尔霍夫弥补了菲涅尔理论的不足，从波动微分方程出发，利用场论中的格林定理及电磁场的边值条件，给惠更斯-菲涅尔原理找到了比较完善的数学表达式 。
在菲涅尔的理论中倾斜因子k (φ) 没有严格定义. 1880 年基尔霍夫从麦克斯韦理论出发,经过严格的数学处理建立了一个公式—基尔霍夫公式:
U(P)= (2.3)
其中( n , r) 和( n , l ) 分别是孔径面的法线与l 和r 的夹角. 在大多数衍射问题中, 倾斜因子 可看作常量。
2.4 基尔霍夫衍射公式的近似
前面由标量衍射理论得到了普遍形式的基尔霍夫衍射公式。然而用该公式来解决实际的衍射问题时，数学上往往又是很困难的。现在讨论这个普遍公式的某些近似，以便可以用比较简单的数学运算来得到衍射图样，而且所做的近似处理，在具体衍射问题中又是允许的。按近似处理的条件，可分为菲涅尔近似和夫琅禾费近似，与之相对应的衍射，分别称为菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 。
图 2.7瑞利一索末菲衍射
如图7所示，平面物体的衍射规律可用瑞利一索末菲衍射积分来表示，观察平面上的复振幅分布为：
(x,y)= (2.4)
其中式中 是衍射孔径平面上某点 与观察场点上某点P之间的距离。cos 为倾斜因子，在满足傍轴条件下约等于1, 是光波波数。当衍射屏相距光源及观察平面两者或两者之一为有限远时，即当场点P与子波源点P 同时满足傍轴条件 和 时
由式(2.5)表示的观察平面复振幅分布为: （2.5）
由此衍射积分得到的光场复振幅分布称为菲涅耳衍射.从上式可见,在观察屏上的衍射图样是跟r有关。当取不同的r值时衍射图样就会发生变化。由此我们区分菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射，具体如下图所示；
图2.8 衍射区的划分示意图
当衍射屏相距光源及观察平面两者均为无限远时，即当场点P与子波源点P 同时满足远场条件d>> 时，
（2.6）
由此衍射积分得到的光场复振幅分布称为夫琅禾费衍射。
菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射特点区分：菲涅耳衍射图样的特点是，随着距离d增大，观察平面光场的函数分布会发生变化，如轴上观察点沿光束传播方向是亮暗交替变化的。而夫琅禾费衍射图样的特点是，强度分布单纯与方向有关。
为了计算(2.6)式的积分，需要用坐标变换表示r和ds．可以将r展开：